nombre de Cullen

Prenez un entier positif, par exemple 4. Élevez 2 à cette puissance, multipliez le résultat par l'entier choisi, puis ajoutez 1. On obtient 4 × 2⁴ + 1, soit 65 : c'est un nombre de Cullen.

La recette produit une suite d'entiers qui grandissent vite. Certains pourraient être premiers, mais 65 ne l'est pas, car 65 = 5 × 13. Cette situation est typique : les nombres de Cullen premiers sont très rares parmi les valeurs étudiées.

Pour tout entier naturel non nul n, le n-ième nombre de Cullen, noté C_n, est l'entier obtenu en multipliant n par la n-ième puissance de 2, puis en ajoutant 1 :La condition n ≥ 1 appartient à la définition retenue ici. Par exemple, C₄ = 4 × 2⁴ + 1 = 65.

Un nombre de Cullen est dit premier lorsque sa valeur n'a que 1 et elle-même pour diviseurs positifs. La source indique que les deux premiers indices donnant un nombre premier sont n = 1, avec C₁ = 3, puis n = 141. Elle recense 16 nombres de Cullen premiers et signale qu'une infinité de tels nombres est conjecturée, sans être démontrée. Le record qu'elle mentionne a été découvert en 2009 : son indice est 6 679 881 et son écriture décimale dépasse deux millions de chiffres.

La variante appelée nombre de Woodall, ou nombre de Cullen de second type, remplace l'addition finale par une soustraction. Pour le même entier n, elle est notée ici W_n :James Cullen a étudié les premiers nombres en 1905. Cunningham et Woodall ont étudié la variante en 1917 en s'inspirant de ces travaux. L'existence d'une infinité de nombres de Woodall premiers est également conjecturée.

Calculons le nombre de Cullen d'indice n = 4, puis déterminons s'il est premier.

Données :
indice choisi : n = 4 ;
base de la puissance : 2 ;
opération finale : ajouter 1.

1. Calculer la puissance : 2⁴ = 16.
2. Multiplier par l'indice : 4 × 16 = 64.
3. Ajouter 1 : C₄ = 64 + 1 = 65.
4. Chercher une factorisation : 65 = 5 × 13.

Le quatrième nombre de Cullen vaut donc exactement 65 et il est composé. Le contrôle se refait dans l'autre sens : 5 × 13 = 65, puis 65 − 1 = 64 = 4 × 2⁴.

Pour produire les premiers termes, on choisit successivement n = 1, 2, 3, 4, puis on applique exactement la même recette. Les valeurs obtenues sont 3, 9, 25 et 65 ; les trois dernières montrent déjà plusieurs cas composés.

Pour décider si une petite valeur est première, une factorisation suffit dès qu'un diviseur apparaît. Dans l'exemple n = 4, repérer le chiffre final 5 conduit immédiatement au facteur 5 et au verdict « composé ».

Pour comparer Cullen et Woodall avec le même indice, on conserve le produit n × 2ⁿ et l'on change seulement le dernier signe. Avec n = 4, les deux valeurs sont 65 et 63 : ce sont deux familles différentes, pas deux écritures d'un même entier.

Un nombre de Woodall est obtenu avec n × 2ⁿ − 1, tandis qu'un nombre de Cullen utilise n × 2ⁿ + 1. Pour n = 4, le test tranche immédiatement : 63 est un nombre de Woodall et 65 un nombre de Cullen.

Un nombre premier est défini par ses diviseurs, et non par la forme de Cullen. Ainsi, 65 a bien la forme n × 2ⁿ + 1 pour n = 4, mais sa factorisation 5 × 13 prouve qu'il n'est pas premier.

L'indice zéro est hors du domaine retenu. La formule donnerait 0 × 2⁰ + 1 = 1, mais la définition source exige un entier naturel non nul. Il faut donc commencer la suite à n = 1.

La forme de Cullen ne garantit pas la primalité. Le symptôme est visible dès n = 2 : C₂ = 9 = 3 × 3. Il faut tester la valeur obtenue au lieu de conclure à partir de sa seule écriture.

Une liste finie ne prouve pas une infinité. Le fait que la source recense 16 nombres de Cullen premiers établit seulement des cas connus. L'affirmation qu'il en existe une infinité reste une conjecture ; la même prudence vaut pour les nombres de Woodall premiers.

Un record daté est un état des connaissances. La valeur d'indice 6 679 881, découverte en 2009 et forte de plus de deux millions de chiffres, est le record rapporté par la source. Il faut en vérifier l'actualité avant d'en faire un record présent.

Le glossaire nombre premier donne le critère de divisibilité employé pour classer les valeurs de Cullen.

L'article Ce nombre est-il premier ? prolonge la question pratique du test de primalité.

Le glossaire Critères de divisibilité aide à détecter rapidement certains facteurs dans les petites valeurs calculées.