nombre premier de Sophie Germain

Prenez le nombre premier 11, doublez-le, puis ajoutez 1. Vous obtenez 23, qui est lui aussi premier. Cette double réussite fait de 11 un nombre premier de Sophie Germain.

Être premier ne suffit donc pas. Le nombre de départ doit passer un second test après la transformation « doubler puis ajouter 1 ». Ainsi, 7 échoue : il est premier, mais le résultat 15 ne l'est pas.

Un nombre premier de Sophie Germain est un nombre premier noté p pour lequel le nombre obtenu en le doublant puis en ajoutant 1 est encore premier. Si l'on note q ce second nombre, la relation est $q=2p+1q=2p+1$. Les deux conditions sont indispensables : p est premier et q est premier. Le nombre q ainsi associé est appelé un premier sûr.

Les nombres 2 et 3 satisfont le critère, puisque leurs nombres associés sont respectivement 5 et 7. La source dénombre 37 nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à 1 000. Elle indique aussi qu'en mars 2010 le plus grand exemple connu était 183027 × 2²⁶⁵⁴⁴⁰ + 1, avec 79 911 chiffres. Cette indication est un record daté, non une valeur annoncée comme actuelle.

Sophie Germain a étudié cette classe dans ses travaux sur le dernier théorème de Fermat. Le résultat qui porte son nom, démontré vers 1825, relie ces nombres à certains exposants de ce problème. L'existence d'une infinité de nombres premiers de Sophie Germain reste conjecturée, sans démonstration dans la source.

On veut déterminer si 11 est un nombre premier de Sophie Germain. Les données sont le candidat p = 11 et la règle qui consiste à le doubler puis à ajouter 1. La relation entre le candidat et le nombre obtenu peut se suivre comme une chaîne de deux tests de primalité.

1. On vérifie que 11 est premier : ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 11.
2. On double 11 : 2 × 11 = 22.
3. On ajoute 1 au résultat : 22 + 1 = 23.
4. On vérifie que 23 est premier : aucun des entiers 2, 3 ou 4 ne le divise.

Les deux tests étant réussis, 11 est un nombre premier de Sophie Germain et son premier sûr associé est 23. Pour contrôler la démarche, on refait le calcul en une ligne : 2 × 11 + 1 = 23.

Pour tester un candidat, on commence par vérifier qu'il est premier. On calcule ensuite son double augmenté de 1 et l'on effectue un nouveau test de primalité. Si ce second résultat est composé, on écarte le candidat, même si le nombre de départ est premier.

Dans l'étude du dernier théorème de Fermat, cette famille sert à repérer les exposants auxquels s'applique le théorème de Sophie Germain mentionné par la source. Pour une simple recherche de nombres premiers, on n'impose pas la seconde condition : elle ne devient pertinente que lorsque l'on cherche précisément cette famille.

Un nombre premier de Sophie Germain est le nombre de départ p. Le premier sûr est le nombre d'arrivée 2p + 1. Dans l'exemple conducteur, 11 est le nombre premier de Sophie Germain, tandis que 23 est le premier sûr associé.

Un candidat premier peut échouer au second test. Pour p = 7, le calcul donne 2 × 7 + 1 = 15 ; le résultat est divisible par 3 et 5. Il faut donc tester les deux nombres, sans déduire la primalité du second de celle du premier.

Le décompte de 37 exemples concerne strictement les nombres inférieurs à 1 000. Il ne donne ni une règle de répartition au-delà de ce seuil ni une preuve qu'il en existe une infinité. Cette infinité demeure une conjecture dans la source.

Le nombre de 79 911 chiffres est attaché au record connu en mars 2010. Une date accompagne nécessairement cette donnée : il ne faut pas la présenter comme le record actuel sans vérification plus récente.

L'article Les nombres de Sophie Germain prolonge la définition par une présentation consacrée à cette famille arithmétique.