ArithmétiqueNotion · Glossaire
Premier régulier (nombre)
Un nombre premier impair p est dit régulier si p ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli B2, B4, ..., B(p-3). Les premiers réguliers jouent un rôle dans la dernière conjecture de Fermat : Kummer a montré au XIXe siècle que le grand théorème de Fermat est vrai pour les exposants premiers réguliers. Les premiers irréguliers sont ceux pour lesquels la condition de Kummer n'est pas vérifiée. Les premiers réguliers connus incluent 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le critère de divisibilité portant sur les numérateurs des nombres de Bernoulli.
- Refaire le test complet pour le nombre premier 7.
- Distinguer un premier irrégulier d'un contre-exemple au dernier théorème de Fermat.
- Relier le critère de Bernoulli au nombre de classes du corps cyclotomique associé.
En clair
Prenons le nombre premier 7 et une liste précise de fractions appelées nombres de Bernoulli. Pour 7, il suffit d'examiner B2 = 1/6 et B4 = −1/30. Leurs numérateurs, 1 et −1, ne sont pas divisibles par 7 : le nombre 7 est donc un premier régulier.
Le mot « régulier » ne décrit ni l'espacement des nombres premiers ni une suite sans exception. Il signale que le nombre premier passe ce test de divisibilité, celui que Kummer a relié au dernier théorème de Fermat.
Définition
Soit p un nombre premier impair. Les nombres de Bernoulli pairs concernés sont B2, B4, puis les suivants jusqu'à Bp−3. Chaque fraction est écrite sous forme irréductible, et « num » désigne son numérateur. Le premier p est régulier lorsque la condition suivante vaut pour chaque entier k de 1 à (p − 3)/2 :
S'il divise au moins un de ces numérateurs, p est irrégulier. Une formulation équivalente passe par le corps cyclotomique associé à p : p est régulier lorsqu'il ne divise pas le nombre de classes de ce corps, c'est-à-dire l'ordre de son groupe de classes d'idéaux. Kummer a établi que le dernier théorème de Fermat est vrai lorsque l'exposant est un premier régulier. Parmi les exemples donnés figurent 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.
Un exemple, pas à pas
On veut vérifier la régularité de p = 7. Les données sont le nombre premier 7, la borne p − 3 = 4, puis les fractions irréductibles B2 = 1/6 et B4 = −1/30.
1. La borne 4 impose d'examiner exactement les indices pairs 2 et 4.
2. Le numérateur de B2 est 1 ; 7 ne divise pas 1.
3. Le numérateur de B4 est −1 ; 7 ne divise pas −1.
4. Aucun numérateur de la liste n'est donc divisible par 7.
2. Le numérateur de B2 est 1 ; 7 ne divise pas 1.
3. Le numérateur de B4 est −1 ; 7 ne divise pas −1.
4. Aucun numérateur de la liste n'est donc divisible par 7.
Le verdict est que 7 est un premier régulier. Pour contrôler le calcul, on peut réduire les deux numérateurs modulo 7 : les restes sont respectivement 1 et 6, jamais 0.
Le schéma récapitulatif associe chaque fraction testée à son numérateur et à son reste modulo 7, ce qui rend visible l'absence du reste 0.
En pratique
Pour tester un petit nombre premier impair, on dresse la liste finie des nombres de Bernoulli pairs jusqu'à l'indice p − 3. On réduit chaque fraction, puis on cherche si son numérateur est divisible par p.
En arithmétique algébrique, on peut employer le critère équivalent du corps cyclotomique associé. Cette voie est naturelle lorsque le nombre de classes ou le groupe de classes d'idéaux est déjà connu ; sinon, le test par les nombres de Bernoulli est plus direct.
Dans l'étude historique de l'équation de Fermat, reconnaître un exposant premier régulier permet d'appliquer le résultat de Kummer. Si l'exposant est irrégulier, ce résultat particulier ne suffit pas et il faut un autre argument.
À ne pas confondre
Nombre premier et premier régulier. Être premier est nécessaire, mais la régularité ajoute un test sur les numérateurs des nombres de Bernoulli. Pour 7, la primalité fixe le candidat ; les numérateurs 1 et −1 établissent ensuite sa régularité.
Premier irrégulier et contre-exemple au dernier théorème de Fermat. Un premier est irrégulier dès qu'il divise l'un des numérateurs testés. Cela signifie que la condition utilisée par Kummer échoue, non que l'équation de Fermat possède une solution.
Limites et pièges
Le cas p = 3. La borne p − 3 vaut 0 : aucun nombre de Bernoulli pair positif n'est à tester. La condition est alors satisfaite sans calcul, ce qui concorde avec la présence de 3 dans la liste donnée.
Une fraction non réduite fausse le test. La divisibilité porte sur le numérateur du nombre de Bernoulli écrit sous forme irréductible. Il faut donc simplifier la fraction avant de conclure.
Une seule divisibilité suffit. Le mot « régulier » exige qu'aucun numérateur ne soit divisible par p. Dès qu'un reste vaut 0 modulo p, le premier est irrégulier et il est inutile de présenter les autres tests comme une compensation.
La portée du résultat de Kummer. La régularité est une condition suffisante dans le cas des exposants premiers réguliers. L'échec du critère ne fournit pas la conclusion contraire ; il retire seulement cette voie de démonstration.
Pour aller plus loin
nombre premier — Revoir la propriété de base exigée avant d'étudier la régularité.
Corps cyclotomique — Situer l'autre formulation du critère, fondée sur le nombre de classes.
Pour redécouvrir le dernier théorème de Fermat — Replacer l'apport de Kummer dans l'histoire du théorème.
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