théorème de von Staudt-Clausen

Prenons le nombre de Bernoulli B₁₀ = 5/66. Son dénominateur 66 n'est pas un hasard : ses facteurs premiers sont 2, 3 et 11. Pour les trouver, on part de l'indice 10 et on garde les nombres premiers p pour lesquels p − 1 divise 10. On obtient bien 2, 3 et 11.

Le théorème transforme ainsi une question sur une fraction de Bernoulli en un test de divisibilité portant sur des nombres premiers.

Le théorème de von Staudt-Clausen décrit la partie non entière des nombres de Bernoulli d'indice pair. Pour un entier n au moins égal à 1, on considère B_2n, puis tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise 2n. La somme de B_2n et des inverses de ces nombres premiers est un entier.

En notation de congruence modulo 1, qui identifie deux rationnels lorsque leur différence est entière, l'énoncé s'écrit : $B_{2n}\equiv -{\sum }_{\begin{array}{c}p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\\ p-1\mid 2n\end{array}}\frac{1}{p}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1)B\_\{2n\}\backslash equiv-\backslash sum\_\{\backslash substack\{p\backslash \; \backslash mathrm\{premier\}\backslash \backslash p-1\backslash mid\; 2n\}\}\backslash frac1p\backslash pmod\; 1$. Le signe moins est essentiel : avec la convention usuelle où la partie fractionnaire appartient à [0, 1[, il faut prendre la partie fractionnaire de l'opposé de la somme.

Sous forme irréductible, le dénominateur de B_2n est donc le produit des nombres premiers retenus : $\mathrm{den}(B_{2n})={\prod }_{\begin{array}{c}p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\\ p-1\mid 2n\end{array}}p\backslash operatorname\{den\}(B\_\{2n\})=\backslash prod\_\{\backslash substack\{p\backslash \; \backslash mathrm\{premier\}\backslash \backslash p-1\backslash mid\; 2n\}\}p$. Ce dénominateur est sans facteur carré, puisque chaque premier apparaît une seule fois. Le résultat a été obtenu indépendamment en 1840 par Carl von Staudt et Thomas Clausen.

Si n est un entier au moins égal à 1 et si B_2n est le nombre de Bernoulli d'indice 2n, alors : $B_{2n}+{\sum }_{\begin{array}{c}p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\\ p-1\mid 2n\end{array}}\frac{1}{p}\in \mathbb{Z}B\_\{2n\}+\backslash sum\_\{\backslash substack\{p\backslash \; \backslash mathrm\{premier\}\backslash \backslash p-1\backslash mid\; 2n\}\}\backslash frac1p\backslash in\backslash mathbb\; Z$. Autrement dit, on additionne 1/p pour chaque nombre premier p dont le prédécesseur p − 1 divise 2n ; l'ajout de cette somme à B_2n donne toujours un entier.

Le rang doit être pair et strictement positif : on travaille avec B_2n pour un entier n ≥ 1. Pour chaque nombre premier candidat p, la condition se vérifie exactement en divisant 2n par p − 1. Le théorème fournit alors la classe de B_2n modulo les entiers et, par conséquent, son dénominateur réduit.

Pour l'indice 10, le premier 7 ne convient pas : 7 − 1 = 6 ne divise pas 10, donc 1/7 n'entre ni dans la somme ni dans le dénominateur annoncé. Pour un indice impair, cette règle ne s'applique pas ; il faut revenir à la définition ou à une propriété adaptée des nombres de Bernoulli.

Vérifions le théorème pour B₁₀ = 5/66. Les données sont l'indice 2n = 10, donc n = 5, et la condition p − 1 divise 10 pour un nombre premier p.

1. Les diviseurs positifs de 10 sont 1, 2, 5 et 10. En leur ajoutant 1, on obtient les candidats 2, 3, 6 et 11.

2. Parmi ces candidats, 2, 3 et 11 sont premiers, tandis que 6 ne l'est pas. La somme prescrite vaut donc : $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}=\frac{33+22+6}{66}=\frac{61}{66}\backslash frac12+\backslash frac13+\backslash frac1\{11\}=\backslash frac\{33+22+6\}\{66\}=\backslash frac\{61\}\{66\}$. La figure réunit ce filtrage et les trois facteurs du dénominateur.

3. Ajoutons cette somme au nombre de Bernoulli : $B_{10}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}=\frac{5}{66}+\frac{61}{66}=1B\_\{10\}+\backslash frac12+\backslash frac13+\backslash frac1\{11\}=\backslash frac5\{66\}+\backslash frac\{61\}\{66\}=1$. Le résultat est bien entier.

4. Le contrôle par le dénominateur donne 66 = 2 × 3 × 11. Il contient exactement les trois nombres premiers retenus, chacun une seule fois. La partie fractionnaire de B₁₀ vaut 5/66, c'est-à-dire 1 − 61/66, et non 61/66.

Pour prévoir le dénominateur de B_2n, on liste les diviseurs d de 2n, puis on garde ceux pour lesquels d + 1 est premier. Le produit de ces nombres premiers donne directement le dénominateur réduit, sans calculer d'abord le numérateur de B_2n.

Pour contrôler une valeur annoncée de B_2n, on additionne ses inverses prescrits. Si le total n'est pas entier, la valeur, l'indice ou la liste des nombres premiers contient une erreur. Un calcul direct par la définition des nombres de Bernoulli reste préférable lorsqu'on cherche aussi le numérateur.

Nombres de Bernoulli et loi de Bernoulli. Les premiers forment une suite de nombres rationnels indexés, tandis que la seconde est un modèle probabiliste à deux issues. Une fraction comme B₁₀ = 5/66 relève ici de la suite, pas d'une probabilité de succès.

Somme des inverses et partie fractionnaire. Le théorème dit que leur somme avec B_2n est entière. Le critère testable est donc le signe : pour B₁₀, la somme des inverses vaut 61/66, alors que la partie fractionnaire vaut 5/66.

Le signe ne peut pas disparaître. Dire que la partie fractionnaire de B_2n est la somme des 1/p est en général faux. Il faut lire la congruence avec un signe moins, puis ramener le résultat dans l'intervalle [0, 1[. Pour l'indice 10, cela donne 1 − 61/66 = 5/66.

La condition porte sur p − 1. Un nombre premier ne doit pas être retenu simplement parce qu'il divise 2n. À l'indice 10, le premier 5 divise 10, mais 5 − 1 = 4 ne le divise pas ; 5 n'apparaît donc pas dans le dénominateur 66.

Le théorème ne donne pas le numérateur. Le produit 2 × 3 × 11 prédit 66, mais il ne suffit pas à retrouver 5. Pour obtenir la valeur complète de B₁₀, il faut une autre formule ou la définition récurrente des nombres de Bernoulli.

Partie fractionnaire — Fixer la convention dans [0, 1[ et interpréter correctement la congruence négative du théorème.

Dénominateur — Revoir la réduction d'une fraction et comprendre pourquoi le produit obtenu décrit le dénominateur irréductible.

nombre premier — Approfondir les facteurs qui composent le dénominateur et le test de primalité appliqué aux nombres d + 1.

Critères de divisibilité — Consolider le test p − 1 divisant 2n qui sélectionne les premiers de la formule.