ArithmétiqueNotion · Glossaire
Dénominateur
Le dénominateur d'une fraction est le nombre qui divise, placé en bas de la fraction. Dans la fraction a/b, b est le dénominateur et doit être non nul. Lorsque les dénominateurs sont des entiers non nuls, un dénominateur commun est un multiple entier positif commun, utilisé pour additionner les fractions. Le plus petit dénominateur commun est le plus petit de ces multiples positifs, c’est-à-dire leur PPCM. La notion se généralise aux fractions rationnelles où le dénominateur est un polynôme.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le dénominateur et le distinguer du numérateur.
- Trouver le plus petit dénominateur commun de 4 et 6 avec leur PPCM.
- Refaire l’addition de 3/4 et 5/6 jusqu’au résultat 19/12.
- Reconnaître les pièges du dénominateur nul, des écritures équivalentes et des fractions rationnelles.
En clair
Partagez une tablette en quatre parts égales et prenez-en trois. Dans la fraction 3/4, le nombre 4 indique le nombre de parts égales formant la tablette entière : c’est le dénominateur. Le nombre 3 compte les parts prises.
Pour additionner 3/4 et 5/6, les quarts et les sixièmes doivent d’abord devenir des parts de même taille. Le nombre 12 convient : chaque quart vaut trois douzièmes et chaque sixième en vaut deux. On obtient ainsi un dénominateur commun.
Définition
Dans une fraction, le dénominateur est le nombre écrit sous la barre de fraction. Si le nombre du haut est noté a et celui du bas b, la fraction s’écrit ; b en est le dénominateur et doit être non nul. Le dénominateur indique par quelle quantité a est divisé. Dans l’interprétation en parts égales, lorsque b est positif, il fixe le nombre de parts composant une unité.
Lorsque les dénominateurs sont des entiers non nuls, un dénominateur commun utilisable est un multiple entier positif commun de ces dénominateurs. Il permet d’exprimer les fractions avec des parts de même taille, condition nécessaire pour additionner ou soustraire leurs numérateurs. Pour 3/4 et 5/6, 12 est le plus petit dénominateur commun, car 12 est le plus petit multiple positif commun à 4 et 6 : leur PPCM.
La notion s’étend aux fractions rationnelles. Le quotient de deux polynômes a pour dénominateur le polynôme placé sous la barre ; les valeurs qui annulent ce polynôme sont exclues du domaine de la fraction.
Un exemple, pas à pas
On additionne 3/4 et 5/6. Les données sont les numérateurs 3 et 5, ainsi que les dénominateurs 4 et 6. On cherche une écriture des deux fractions avec le même dénominateur.
Étape 1. Les premiers multiples positifs de 4 sont 4, 8, 12… ; ceux de 6 sont 6, 12…. Leur premier multiple commun est 12.
Étape 2. Comme 12 vaut 4 multiplié par 3, on multiplie le numérateur et le dénominateur de 3/4 par 3 : .
Étape 3. Comme 12 vaut 6 multiplié par 2, on multiplie le numérateur et le dénominateur de 5/6 par 2 : .
Étape 4. Les douzièmes ont la même taille, donc on additionne les numérateurs : . Le résultat est 19/12, soit 1 + 7/12.
Le schéma rend visibles les deux changements d’écriture. Pour contrôler le calcul, on peut revenir aux valeurs décimales : 3/4 vaut 0,75, 5/6 vaut environ 0,833, et 19/12 vaut environ 1,583.
En pratique
Pour lire une fraction, repérez d’abord le nombre sous la barre. Dans 3/4, le dénominateur 4 fixe des quarts ; le numérateur 3 indique combien de ces quarts sont retenus.
Pour additionner des fractions de même dénominateur, conservez ce dénominateur et additionnez seulement les numérateurs. Si les dénominateurs diffèrent, remplacez d’abord les fractions par des écritures équivalentes ayant un dénominateur commun.
Pour limiter les calculs, choisissez le PPCM des dénominateurs plutôt qu’un multiple commun plus grand. Avec 4 et 6, le choix 12 produit directement 9/12 et 10/12 ; le choix 24 fonctionnerait aussi, mais avec des nombres inutilement plus grands.
À ne pas confondre
Dénominateur et numérateur. Le dénominateur est sous la barre et fixe la taille des parts ; le numérateur est au-dessus et compte les parts retenues. Dans 3/4, 4 est le dénominateur et 3 le numérateur.
Dénominateur commun et plus petit dénominateur commun. Tout multiple entier positif commun convient pour réécrire les fractions, mais le plus petit d’entre eux est leur PPCM. Pour 4 et 6, 12 et 24 sont des multiples positifs communs ; seul 12 est le plus petit.
Limites et pièges
Dénominateur nul. Une écriture comme 3/0 ne définit pas une fraction, car la division par zéro n’est pas définie. Il faut exclure toute valeur qui rend le dénominateur nul.
Écritures équivalentes. Le dénominateur n’est pas une propriété unique du nombre représenté. Les fractions 3/4, 6/8 et 9/12 ont des dénominateurs différents mais la même valeur ; il faut simplifier pour obtenir une écriture irréductible.
Addition trop rapide. Additionner séparément les nombres du haut et ceux du bas donne ici 8/10, qui vaut 0,8 et non 3/4 + 5/6. Il faut d’abord passer aux douzièmes, puis additionner 9 et 10.
Dénominateur polynomial. Pour une fraction rationnelle, le dénominateur peut s’annuler seulement pour certaines valeurs. Avec 1/(x − 2), la valeur x = 2 est interdite ; on doit l’exclure même si une simplification ultérieure masque le facteur concerné.
Pour aller plus loin
Numérateur — Distinguer le nombre de parts retenues du nombre de parts qui forme l’unité.
Ppcm — Calculer le plus petit dénominateur commun sans tester successivement tous les multiples.
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