Numérateur

Une boîte contient 18 cases identiques, dont 12 sont colorées. La fraction 12/18 décrit la part colorée. Le nombre placé au-dessus de la barre, 12, est le numérateur : il compte les cases retenues.

Le nombre du dessous, 18, indique en combien de parts égales le tout est partagé. Le numérateur ne donne donc pas le total disponible ; il dit combien de parts sont prises en compte. La figure rend ce comptage visible sans changer la valeur de la fraction.

Dans une fraction, le numérateur est le terme écrit au-dessus de la barre. Si le numérateur est noté a et le dénominateur b, avec b non nul, la fraction s'écrit $\frac{a}{b}\backslash frac\{a\}\{b\}$. Dans une interprétation en parts égales où a est un entier naturel et b un entier strictement positif, b fixe le nombre de parts formant le tout et a compte celles que l'on considère. Le numérateur peut être nul, positif ou négatif.

Une même valeur peut avoir plusieurs écritures fractionnaires : 12/18 et 2/3 sont égales. En arithmétique, on simplifie une fraction en divisant son numérateur et son dénominateur par un même diviseur non nul. La division par leur plus grand commun diviseur donne une fraction irréductible ; son numérateur et son dénominateur n'ont alors plus de facteur entier commun autre que 1.

Dans une fraction rationnelle, les deux termes sont des polynômes : le polynôme placé au-dessus est le numérateur. La fraction n'est définie que pour les valeurs de la variable qui n'annulent pas le polynôme dénominateur.

Une boîte comporte 18 cases identiques, dont 12 sont colorées. Les données sont donc un total de 18 cases et un groupe retenu de 12 cases. La part colorée s'écrit 12/18 : son numérateur est 12 et son dénominateur est 18.

1. On cherche le plus grand commun diviseur de 12 et 18. Il vaut 6.

2. On divise le numérateur par 6 : 12 ÷ 6 = 2. Le nouveau numérateur est donc 2.

3. On divise aussi le dénominateur par 6 : 18 ÷ 6 = 3.

La simplification donne $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\backslash frac\{12\}\{18\}=\backslash frac\{2\}\{3\}$. La part colorée représente exactement deux tiers de la boîte. Pour contrôler l'égalité, on effectue les produits croisés : 12 × 3 = 36 et 18 × 2 = 36.

Pour lire une fraction illustrée, on compte d'abord toutes les parts égales, puis seulement les parts retenues. Avec 18 cases dont 12 colorées, le numérateur est 12. Si les parts n'ont pas la même taille, ce comptage ne suffit pas : il faut d'abord choisir un partage en parts égales.

Pour comparer des fractions ayant le même dénominateur positif, le plus grand numérateur correspond à la plus grande part. Si les dénominateurs diffèrent, cette comparaison directe ne convient plus ; on utilise alors un dénominateur commun ou les produits croisés.

Pour simplifier 12/18, on divise les deux termes par leur PGCD, ici 6. Le numérateur devient 2 et le dénominateur 3. Si aucun facteur supérieur à 1 n'est commun aux deux termes, la fraction est déjà irréductible.

Numérateur et dénominateur. Le numérateur est au-dessus de la barre et compte les parts considérées ; le dénominateur est au-dessous et fixe le partage du tout. Dans 12/18, 12 est le numérateur et 18 le dénominateur.

Numérateur et valeur de la fraction. Le numérateur est l'un des deux termes de l'écriture, pas le résultat de la division. Dans 12/18, le numérateur vaut 12, tandis que la fraction vaut 2/3 après simplification.

Dénominateur nul. Une écriture telle que 12/0 possède bien un terme en position de numérateur, mais elle ne définit pas une fraction numérique. La division par zéro n'est pas définie ; il faut exclure ce cas.

Numérateur nul. Avec un dénominateur non nul, 0/b est valide et vaut 0. Le symptôme trompeur serait de rejeter toute fraction contenant un zéro ; seul un zéro au dénominateur bloque la division.

Signe moins. Les écritures −12/18, 12/(−18) et −(12/18) donnent la même valeur. La position du signe change l'écriture et le terme qui le porte, pas la valeur ; pour une lecture stable, on place généralement le signe devant la fraction.

Fraction rationnelle. Le numérateur est alors un polynôme, et la simplification porte sur des facteurs polynomiaux communs. Même après simplification, les valeurs qui annulaient le dénominateur initial restent exclues du domaine de l'expression d'origine.

Le dénominateur complète la lecture d'une fraction : il précise le nombre de parts égales qui composent le tout.

Le PGCD fournit le diviseur commun qui réduit simultanément le numérateur et le dénominateur jusqu'à une fraction irréductible.