fractions équivalentes

Une tablette partagée en quatre parts égales dont on en prend trois représente 3/4 de la tablette. Si chaque quart est encore coupé en deux, on obtient huit parts égales et on en prend six : la quantité n'a pas changé. Les fractions 3/4 et 6/8 sont donc équivalentes. Seul le découpage change ; la part du tout reste la même.

Considérons deux fractions a/b et c/d. Les lettres a et c désignent les numérateurs ; b et d désignent les dénominateurs, qui doivent être des entiers non nuls. Ces fractions sont équivalentes lorsqu'elles représentent le même nombre rationnel. Le critère exact est l'égalité des produits croisés : $ad=bcad=bc$. Ainsi, 3/4 et 6/8 sont équivalentes, car 3 × 8 = 4 × 6 = 24.

Multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même entier non nul produit une fraction équivalente. Diviser les deux par un diviseur commun non nul conserve aussi sa valeur lorsque les quotients restent entiers. Une même valeur rationnelle possède ainsi une infinité d'écritures fractionnaires. En divisant numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun, on obtient une fraction irréductible. Si l'on impose en plus un dénominateur positif, cette écriture irréductible est l'unique représentant canonique de la classe.

Vérifions si 3/4 et 6/8 représentent la même part. Les données sont les numérateurs 3 et 6, ainsi que les dénominateurs non nuls 4 et 8.

1. Calculons le premier produit croisé : 3 × 8 = 24.

2. Calculons le second produit croisé : 4 × 6 = 24. Les deux produits étant égaux, le critère donne $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}\backslash frac\{3\}\{4\}=\backslash frac\{6\}\{8\}$.

3. Retrouvons le résultat par simplification : le numérateur 6 et le dénominateur 8 sont tous deux divisibles par 2, donc 6/8 = (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3/4.

4. Contrôlons par une valeur commune : 3 ÷ 4 = 0,75 et 6 ÷ 8 = 0,75. Les trois vérifications aboutissent exactement au même nombre rationnel.

Pour comparer une réponse à une correction, le produit croisé permet de reconnaître deux écritures de la même valeur sans effectuer de division. Si les dénominateurs sont petits et qu'une simplification saute aux yeux, réduire d'abord la fraction est souvent plus rapide.

Pour additionner 3/4 à une fraction exprimée en huitièmes, on remplace 3/4 par 6/8 afin d'obtenir un dénominateur commun. Cette transformation est préférable à l'écriture décimale lorsque l'on veut conserver un résultat exact.

Dans une recette ou un partage, agrandir ou réduire simultanément le nombre de parts prises et le nombre total de parts conserve la proportion. Cette lecture convient lorsque les deux quantités sont multipliées ou divisées par un même facteur non nul.

Même dénominateur et même valeur. Deux fractions ayant le même dénominateur ne sont égales que si leurs numérateurs le sont aussi. Ainsi, 3/8 et 6/8 ont un dénominateur commun, mais 3 × 8 ≠ 8 × 6 : elles ne sont pas équivalentes.

Fraction équivalente et fraction décimale. Une fraction décimale possède un dénominateur égal à 10, 100, 1 000, ou une autre puissance de 10. La fraction 6/8 est équivalente à 3/4, mais aucune des deux n'est une fraction décimale ; 75/100 en est une.

Dénominateur nul. Une écriture comme 3/0 n'est pas une fraction représentant un nombre rationnel. Le produit croisé ne doit donc être appliqué qu'après avoir vérifié que les deux dénominateurs sont non nuls.

Facteur nul. Multiplier le numérateur et le dénominateur par 0 conduirait à 0/0, qui n'est pas défini. Le facteur commun utilisé pour fabriquer une fraction équivalente doit toujours être non nul.

Décimal arrondi. Obtenir le même affichage sur une calculatrice ne prouve pas toujours l'égalité. Par exemple, 1/3 ≈ 0,333 à trois décimales, mais 1/3 n'est pas égal à 333/1 000, car 1 × 1 000 ≠ 3 × 333. Le produit croisé tranche exactement.

Signe du représentant canonique. Les fractions −3/4 et 3/−4 sont équivalentes. Pour parler d'une écriture irréductible unique, on choisit conventionnellement un dénominateur positif ; le signe est alors porté par le numérateur.

L'équivalence des fractions permet de construire les nombres rationnels à partir de couples d'entiers. Toutes les écritures reliées par le critère ad = bc sont regroupées dans une même classe d'équivalence ; choisir sa fraction irréductible à dénominateur positif revient à donner un nom canonique à cette classe.