ArithmétiqueNotion · Glossaire
écriture fractionnaire
L'écriture fractionnaire est la représentation d'un nombre sous la forme d'un quotient a/b, au moyen d'une barre de fraction. Lorsque a et b sont tous deux des entiers, l'écriture fractionnaire est une fraction au sens strict. Exemples d'écritures fractionnaires : 1/2 ; 2/3 ; 17/9 ; 238/10 ; 20/5 (qui sont des fractions), ainsi que 12,5/7 ou 6/5,82 (qui ne sont pas des fractions puisque les termes ne sont pas entiers). Un même nombre admet une infinité d'écritures fractionnaires : par exemple, 1/2, 2/4, 3/6, …, n/(2n) désignent tous le même nombre décimal dont l'écriture à virgule est 0,5. De même, 4/3, 8/6, 12/9, …, 4n/(3n) sont des écritures fractionnaires d'un même rationnel non décimal.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le numérateur, le dénominateur et la barre comme les éléments d'un quotient.
- Distinguer une écriture fractionnaire d'une fraction dont les deux termes sont entiers.
- Vérifier pas à pas que 1/2, 2/4, 3/6 et 0,5 représentent le même nombre.
- Reconnaître les cas invalides liés à un dénominateur nul ou à un facteur nul.
- Savoir pourquoi 4/3 reste exact alors que son écriture décimale ne s'arrête pas.
En clair
Prenons une unité et partageons-la en deux parts égales. La part obtenue peut s'écrire 1/2. Si la même unité est partagée en quatre parts égales, deux parts donnent 2/4. Les deux écritures représentent pourtant la même quantité : 0,5.
La barre se lit comme une division. Le nombre placé au-dessus indique la quantité prise ; celui placé au-dessous fixe en combien de parts égales l'unité est découpée. Une écriture peut donc changer sans que le nombre représenté change.
Définition
Une écriture fractionnaire représente un nombre comme un quotient. Si le nombre placé au-dessus de la barre est noté a et celui placé au-dessous est noté b, cette écriture prend la forme , avec b différent de zéro. Le terme a est le numérateur et le terme b le dénominateur. La barre de fraction joue le rôle du signe de division.
Lorsque a et b sont tous les deux entiers, l'écriture est une fraction au sens strict. Les écritures 1/2, 17/9 et 20/5 sont donc des fractions. Les écritures 12,5/7 et 6/5,82 sont fractionnaires, mais ne sont pas des fractions au sens strict, car l'un de leurs deux termes n'est pas entier.
Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul conserve le quotient. Ainsi, 1/2, 2/4 et 3/6 représentent toutes 0,5. Plus généralement, pour tout entier n non nul, n/(2n) représente 1/2. De même, 4/3, 8/6, 12/9 et 4n/(3n) représentent le même nombre rationnel, qui n'a pas d'écriture décimale finie. Un nombre possède donc une infinité d'écritures fractionnaires, sans changer de valeur.
Un exemple, pas à pas
Une même unité sert de repère. Les données sont les écritures 1/2, 2/4 et 3/6, ainsi que la valeur décimale 0,5. Il faut vérifier que ces quatre notations représentent le même nombre.
1. À partir de 1/2, multiplions le numérateur 1 et le dénominateur 2 par 2. Le résultat est 2/4.
2. Repartons de 1/2 et multiplions ses deux termes par 3. Le résultat est 3/6. La représentation par bandes rend visibles ces trois partages équivalents.
3. Effectuons la division indiquée par la barre : 1 ÷ 2 = 0,5. Les divisions 2 ÷ 4 et 3 ÷ 6 donnent également 0,5.
Le résultat est donc . Pour contrôler sans décimales, les produits croisés donnent 1 × 4 = 2 × 2, puis 2 × 6 = 3 × 4 : dans chaque cas, les deux produits sont égaux.
En pratique
Pour représenter une part d'une unité, l'écriture fractionnaire conserve le découpage visible. On préfère 3/6 à 0,5 lorsque l'on veut faire apparaître six parts égales dont trois sont retenues.
Pour comparer deux quotients, on peut chercher un dénominateur commun. Entre 1/2 et 3/6, la réécriture de 1/2 en 3/6 rend immédiatement l'égalité visible ; la forme décimale 0,5 fournit un autre contrôle.
Pour simplifier une écriture, on divise ses deux termes par un même nombre non nul. Comme 6 et 12 sont divisibles par 6, l'écriture 6/12 devient 1/2 sans modifier le nombre représenté.
À ne pas confondre
Écriture fractionnaire et fraction au sens strict. Une fraction exige un numérateur et un dénominateur entiers. Ainsi, 17/9 est une fraction, tandis que 12,5/7 est seulement une écriture fractionnaire.
Nombre et écriture du nombre. Le nombre est la valeur représentée ; l'écriture est sa notation. Les expressions 1/2, 2/4 et 0,5 sont trois écritures différentes d'un même nombre.
Écriture fractionnaire et écriture décimale. La première affiche un quotient. La seconde peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Le nombre 1/2 admet les deux formes, 1/2 et 0,5 ; le nombre 4/3 n'a pas d'écriture décimale finie.
Limites et pièges
Dénominateur nul. Une écriture comme 5/0 ne représente aucun quotient défini. Il faut vérifier que le terme placé sous la barre est différent de zéro avant tout calcul.
Facteur multiplicatif nul. Multiplier les deux termes de 1/2 par zéro produit 0/0, qui n'est pas défini. La fabrication d'une écriture équivalente exige donc un même facteur non nul.
Termes non entiers. La présence d'une barre ne suffit pas pour parler de fraction au sens strict. Dans 6/5,82, le dénominateur n'est pas entier : le quotient est valide, mais la notation est seulement une écriture fractionnaire.
Rationnel sans écriture décimale finie. La division 4 ÷ 3 ne s'arrête pas après un nombre fini de décimales. Il vaut mieux conserver 4/3 pour donner la valeur exacte plutôt que tronquer ou arrondir son écriture à virgule.
Pour aller plus loin
Écriture décimale — Pour comparer deux représentations d’un même nombre et déterminer quand une fraction possède une écriture décimale finie.
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