ArithmétiqueNotion · Glossaire
Ppcm
Le plus petit commun multiple (ppcm) de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui est un multiple à la fois de a et de b. Il est noté ppcm(a, b) ou lcm(a, b). Le ppcm est lié au pgcd par la relation : ppcm(a, b) fois pgcd(a, b) = valeur absolue de (a fois b). Le ppcm peut être calculé à partir de la décomposition en facteurs premiers en prenant les plus grands exposants de chaque facteur premier. Pour des fractions, le ppcm des dénominateurs sert à trouver le dénominateur commun.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le PPCM comme le plus petit entier positif divisible par deux entiers non nuls.
- Calculer le PPCM de 12 et 18 avec les exposants maximaux des facteurs premiers.
- Contrôler le résultat par les divisions et l’examen des multiples inférieurs.
- Employer le PPCM pour des phénomènes périodiques et un dénominateur commun.
- Traiter correctement zéro, les signes et les facteurs communs.
En clair
Deux voyants s’allument ensemble au départ. Le rouge se rallume toutes les 12 secondes et le jaune toutes les 18 secondes. Le rouge passe par 12, 24, 36 secondes ; le jaune par 18, 36 secondes. Leur premier nouvel instant commun est donc 36 secondes.
Ce premier rendez-vous positif est le plus petit commun multiple de 12 et 18, abrégé PPCM. Les rendez-vous suivants, comme 72 secondes, restent communs, mais ne sont plus les plus petits.
Définition
Notons a et b deux entiers non nuls. Un entier est un multiple de a lorsqu’il s’obtient en multipliant a par un entier. Le plus petit commun multiple de a et b est le plus petit entier strictement positif divisible à la fois par a et par b. Il se note ppcm(a, b), ou lcm(a, b) dans la notation anglaise. Le signe des entiers ne change pas ce résultat : leurs valeurs absolues ont les mêmes multiples positifs.
Le plus grand commun diviseur de a et b, abrégé PGCD, est leur plus grand diviseur positif commun. Les deux notions sont reliées par l’identité . Si le PGCD est déjà connu, le PPCM s’obtient donc en divisant la valeur absolue du produit de a et b par ce PGCD.
Une autre méthode décompose les valeurs absolues de a et b en facteurs premiers. Pour chaque facteur premier présent, on conserve le plus grand exposant rencontré, puis on multiplie les puissances retenues. Avec des fractions écrites sous forme irréductible, appliquer cette méthode aux dénominateurs fournit leur plus petit dénominateur commun.
Un exemple, pas à pas
Deux voyants repartent ensemble. Le premier clignote toutes les 12 secondes et le second toutes les 18 secondes. On cherche leur prochain clignotement simultané.
Données :
• première période : 12 secondes ;
• seconde période : 18 secondes ;
• les deux périodes partent du même instant.
Données :
• première période : 12 secondes ;
• seconde période : 18 secondes ;
• les deux périodes partent du même instant.
1. Décomposer les deux périodes en facteurs premiers : 12 = 22 × 3 et 18 = 2 × 32.
2. Repérer les facteurs premiers présents : 2 et 3.
3. Conserver leur plus grand exposant : 22 et 32.
4. Multiplier les puissances retenues : .
2. Repérer les facteurs premiers présents : 2 et 3.
3. Conserver leur plus grand exposant : 22 et 32.
4. Multiplier les puissances retenues : .
Les voyants clignotent donc de nouveau ensemble après 36 secondes. Le contrôle est direct : 36 ÷ 12 = 3 et 36 ÷ 18 = 2. Avant 36, les multiples positifs de 12 sont 12 et 24, tandis que le seul multiple positif de 18 est 18 ; aucun n’est commun. Le même contrôle se lit comme trois périodes de 12 secondes et deux périodes de 18 secondes, toutes achevées à 36 secondes.
En pratique
Lorsque deux phénomènes périodiques démarrent au même instant et ont des périodes entières exprimées dans une même unité, leur première coïncidence strictement après le départ survient au PPCM de leurs périodes. Deux clignotements espacés de 12 et 18 secondes se rejoignent après 36 secondes. Si le problème demande plutôt de découper ces durées en intervalles égaux aussi longs que possible, le PGCD est l’outil adapté.
Pour additionner 5/12 et 7/18, le PPCM des dénominateurs vaut 36. Les fractions deviennent 15/36 et 14/36, donc leur somme vaut 29/36. Tout multiple commun pourrait servir de dénominateur, mais le PPCM donne le plus petit et limite les simplifications ultérieures.
À ne pas confondre
PGCD. Le PGCD doit diviser les deux entiers, tandis que le PPCM doit être divisible par les deux. Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36 : le premier mesure un diviseur commun maximal, le second un multiple commun minimal.
Multiple commun quelconque. Un nombre divisible par les deux entiers n’est pas nécessairement leur PPCM. Ainsi, 72 est divisible par 12 et 18, mais 36 l’est aussi et lui est inférieur : 72 est un multiple commun, pas le plus petit.
Limites et pièges
Présence de zéro. Avec la définition strictement positive donnée ici, les deux entiers doivent être non nuls. Si l’un vaut 0, aucun entier strictement positif n’est un multiple de 0 ; une éventuelle convention d’extension doit donc être annoncée avant d’écrire un PPCM.
Entier négatif. Le signe ne crée pas un autre PPCM positif. Pour −12 et 18, on décompose les valeurs absolues 12 et 18, puis on obtient encore 36. Oublier la valeur absolue dans l’identité avec le PGCD pourrait produire à tort un résultat négatif.
Produit pris trop vite. Le PPCM de deux entiers n’est pas toujours leur produit. Pour 12 et 18, le produit vaut 216, tandis que le PPCM vaut 36, car le facteur commun mesuré par le PGCD, égal à 6, ne doit pas être compté deux fois.
Exposants additionnés. Dans la méthode par facteurs premiers, on retient le plus grand exposant de chaque facteur ; on n’additionne pas les exposants. Pour 12 et 18, le facteur 2 apparaît aux exposants 2 et 1 : le PPCM conserve 22, pas 23.
Pour aller plus loin
Le PGCD précise l’autre moitié de l’identité qui relie diviseurs communs, multiples communs et produit des deux entiers.
Le nombre premier éclaire les briques utilisées pour décomposer 12 et 18 avant de sélectionner les exposants maximaux.
Les Critères de divisibilité aident à contrôler rapidement qu’un candidat est bien divisible par chacun des entiers.
Les fractions équivalentes montrent pourquoi changer de dénominateur conserve une fraction lors du passage au dénominateur commun.
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