ArithmétiqueNotion · Glossaire
Facteur premier
Un facteur premier d'un entier est un nombre premier qui divise cet entier. Le théorème fondamental de l'arithmétique affirme que tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de facteurs premiers. Cette décomposition en facteurs premiers est à la base du calcul du PGCD, du PPCM, et de nombreuses propriétés arithmétiques. La factorisation en facteurs premiers des grands entiers est un problème computationnel difficile, fondement de certains systèmes cryptographiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un facteur premier comme un nombre premier qui divise l’entier considéré.
- Décomposer 84 en facteurs premiers par divisions successives et contrôler le produit.
- Distinguer facteur premier, nombre premier, diviseur et liste des diviseurs.
- Relier les exposants des facteurs premiers aux calculs du PGCD et du PPCM.
- Traiter correctement le cas de 1, un entier déjà premier et les grands entiers.
En clair
Prenez 84 objets et formez des groupes égaux. Des groupes de 2, de 3 ou de 7 fonctionnent sans reste. Ces trois nombres sont premiers : chacun n’a pour diviseurs positifs que 1 et lui-même.
Les nombres 2, 3 et 7 sont donc les facteurs premiers de 84. En les multipliant avec la bonne répétition, on reconstruit 84 : il faut deux facteurs 2, un facteur 3 et un facteur 7.
Définition
Un facteur premier d’un entier est un nombre premier qui divise cet entier, c’est-à-dire que la division donne un quotient entier et aucun reste. Ainsi, 2, 3 et 7 sont des facteurs premiers de 84. Le nombre 6 divise aussi 84, mais il n’est pas premier : ce n’est donc pas un facteur premier.
Notons n un entier supérieur à 1. Le théorème fondamental de l’arithmétique assure que n s’écrit comme un produit de nombres premiers. Notons p1, p2, … les facteurs premiers distincts, et α1, α2, … leurs nombres de répétitions, qui sont des entiers strictement positifs. Cette décomposition s’écrit . Elle est unique à l’ordre des facteurs près. Par exemple, 84 = 22 × 3 × 7 ; écrire les mêmes facteurs dans un autre ordre ne produit pas une autre décomposition.
Les exposants de ces décompositions permettent notamment de calculer le PGCD et le PPCM de plusieurs entiers. La même idée soutient certaines propriétés arithmétiques. Pour de très grands entiers, trouver les facteurs premiers peut toutefois demander beaucoup de calculs ; cette difficulté fonde certains systèmes cryptographiques.
Un exemple, pas à pas
On cherche tous les facteurs premiers de 84 et leur nombre de répétitions.
Donnée :
• entier à décomposer : 84.
Objectif :
• obtenir uniquement des facteurs premiers dont le produit redonne 84.
Donnée :
• entier à décomposer : 84.
Objectif :
• obtenir uniquement des facteurs premiers dont le produit redonne 84.
1. Diviser 84 par le plus petit nombre premier possible : 84 ÷ 2 = 42.
2. Diviser encore le quotient par 2 : 42 ÷ 2 = 21.
3. Diviser 21 par 3 : 21 ÷ 3 = 7.
4. Arrêter, car 7 est premier.
5. Rassembler les facteurs obtenus : .
2. Diviser encore le quotient par 2 : 42 ÷ 2 = 21.
3. Diviser 21 par 3 : 21 ÷ 3 = 7.
4. Arrêter, car 7 est premier.
5. Rassembler les facteurs obtenus : .
Les facteurs premiers distincts de 84 sont donc 2, 3 et 7 ; le facteur 2 apparaît deux fois. Un arbre de facteurs organise les divisions successives jusqu’à ce que chaque branche aboutisse à un nombre premier. Le contrôle consiste à refaire le produit : 2 × 2 = 4, puis 4 × 3 = 12 et 12 × 7 = 84.
En pratique
Pour décomposer un entier modeste, on essaie successivement les nombres premiers, en recommençant avec chacun tant que la division tombe juste. Pour 84, deux divisions par 2 sont possibles, puis une par 3 ; le quotient final 7 est premier.
Pour calculer le PGCD de plusieurs entiers à partir de leurs décompositions, on conserve les facteurs premiers communs avec leurs plus petits exposants. Pour le PPCM, on conserve tous les facteurs présents avec leurs plus grands exposants. Si seule une divisibilité simple doit être vérifiée, la division directe évite une décomposition inutile.
En cryptographie, la difficulté change d’échelle : multiplier des nombres premiers est direct, mais retrouver les facteurs premiers d’un très grand produit peut être difficile. Certains systèmes cryptographiques s’appuient précisément sur cette dissymétrie de calcul.
À ne pas confondre
Nombre premier. Être premier est une propriété propre au nombre ; être facteur premier décrit son rôle par rapport à un entier. Le nombre 7 est premier et devient un facteur premier de 84 parce que 7 divise 84. En revanche, 5 est premier sans être un facteur de 84.
Diviseur. Un facteur premier est toujours un diviseur, mais tout diviseur n’est pas premier. Ainsi, 6 divise 84, pourtant 6 = 2 × 3 : le nombre 6 est un diviseur composé, tandis que 2 et 3 sont des facteurs premiers.
Décomposition en facteurs premiers. La liste des diviseurs de 84 contient notamment 1, 4, 6, 12 et 84. Sa décomposition ne conserve que les briques premières avec leurs répétitions : 84 = 22 × 3 × 7.
Limites et pièges
Le cas de 1. Le théorème concerne les entiers strictement supérieurs à 1. Le nombre 1 n’est divisible par aucun nombre premier et n’a donc aucun facteur premier. Lui attribuer une décomposition non vide détruirait l’unicité.
Un entier déjà premier. Une décomposition peut ne comporter qu’un seul facteur. Pour 7, le seul facteur premier est 7 et la décomposition vaut simplement 7. Chercher obligatoirement plusieurs facteurs conduirait à une étape inutile.
L’ordre et la répétition. Les produits 2 × 2 × 3 × 7 et 7 × 3 × 2 × 2 décrivent la même décomposition de 84. En revanche, omettre le second facteur 2 donne 42 : l’ordre est libre, mais chaque multiplicité doit être conservée.
Les grands entiers. L’existence et l’unicité de la décomposition ne garantissent pas qu’elle soit vite trouvée. Pour un entier très grand, les essais successifs deviennent coûteux ; il faut employer des algorithmes de factorisation adaptés, et certains systèmes cryptographiques reposent sur cette difficulté.
Pour aller plus loin
Le nombre premier précise la propriété des briques irréductibles qui apparaissent dans toute décomposition d’un entier supérieur à 1.
La décomposition en facteurs premiers développe la méthode qui transforme un entier en produit de facteurs premiers avec leurs exposants.
Le théorème fondamental de l'arithmétique établit l’existence et l’unicité de cette décomposition, à l’ordre des facteurs près.
Le PGCD montre comment les facteurs premiers communs et leurs exposants minimaux déterminent le plus grand diviseur commun.
Le Ppcm utilise tous les facteurs présents et leurs exposants maximaux pour produire le plus petit multiple commun.
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