ArithmétiqueFormule · Glossaire
Critères de divisibilité
Les critères de divisibilité sont des règles permettant de déterminer si un entier est divisible par un autre sans effectuer la division euclidienne complète. Par exemple, un entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9, et par 11 si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11. Ces critères reposent sur les propriétés de la représentation décimale et des congruences modulo les diviseurs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Choisir le bon test pour 2, 3, 9 ou 11.
- Appliquer chaque critère aux chiffres de 4 752.
- Distinguer un verdict de divisibilité du calcul du quotient.
- Reconnaître les pièges de la somme alternée pour 11.
En clair
Devant le nombre 4 752, nul besoin de poser quatre divisions. Son dernier chiffre, 2, montre qu’il est divisible par 2. La somme de ses chiffres vaut 18 : comme 18 est divisible par 3 et par 9, 4 752 l’est aussi. Enfin, la somme alternée 4 − 7 + 5 − 2 vaut 0, un multiple de 11. Chaque critère remplace ainsi une longue division par un contrôle court sur les chiffres.
Définition
Un critère de divisibilité est une condition nécessaire et suffisante qui décide si un entier est un multiple d’un diviseur donné. Il s’applique directement à l’écriture décimale de l’entier et évite de calculer le quotient et le reste de la division euclidienne.
Pour 2, il suffit que le chiffre des unités soit pair. Pour 3, la somme de tous les chiffres doit être un multiple de 3. La même somme donne le critère de 9 lorsqu’elle est un multiple de 9. Pour 11, on additionne les chiffres un sur deux et l’on soustrait les deux sommes : l’entier est divisible par 11 exactement lorsque cette différence est un multiple de 11, y compris 0.
Pour formaliser ce mécanisme, la lettre n désigne un entier non négatif, aj son chiffre à la position j depuis les unités, et k la dernière position :
Modulo 3 ou 9, chaque puissance de 10 a le même reste que 1 ; modulo 11, les restes alternent entre 1 et −1. C’est pourquoi la somme simple convient pour 3 et 9, tandis que la somme alternée convient pour 11.
Le principe
Soit un entier écrit en base dix. Il est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités appartient à 0, 2, 4, 6 ou 8. Il est divisible par 3, respectivement par 9, si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3, respectivement par 9. Il est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est un multiple de 11. Dans chaque cas, le verdict est exact : le critère ne fournit pas seulement un indice.
Quand l'utiliser
Ces critères concernent les entiers écrits en base dix. Il faut connaître tous les chiffres utiles : le dernier pour 2, tous les chiffres pour 3, 9 et 11. Le résultat obtenu est seulement un verdict de divisibilité ; le quotient n’est pas calculé.
Un test doit correspondre au diviseur recherché. Ainsi, la somme des chiffres de 341 vaut 8 : cela exclut la divisibilité par 3 et par 9, mais ne tranche pas la divisibilité par 11. Pour cette dernière, la somme alternée 3 − 4 + 1 vaut 0 ; il faut donc employer le critère de 11. Si aucun critère connu ne convient, la division euclidienne reste l’alternative générale.
Un exemple, pas à pas
On veut tester 4 752 avec les quatre critères. Les données sont ses chiffres 4, 7, 5 et 2, lus dans cet ordre. Le schéma de synthèse regroupe les trois gestes à effectuer sur ces mêmes chiffres.
1. Le dernier chiffre est 2, qui est pair : 4 752 est divisible par 2.
2. La somme simple vaut 4 + 7 + 5 + 2 = 18.
3. Comme 18 = 3 × 6, 4 752 est divisible par 3.
4. Comme 18 = 9 × 2, 4 752 est divisible par 9.
5. La somme alternée vaut 4 − 7 + 5 − 2 = 0 ; or 0 = 11 × 0, donc 4 752 est divisible par 11.
2. La somme simple vaut 4 + 7 + 5 + 2 = 18.
3. Comme 18 = 3 × 6, 4 752 est divisible par 3.
4. Comme 18 = 9 × 2, 4 752 est divisible par 9.
5. La somme alternée vaut 4 − 7 + 5 − 2 = 0 ; or 0 = 11 × 0, donc 4 752 est divisible par 11.
La division confirme chaque verdict : 4 752 = 2 × 2 376 = 3 × 1 584 = 9 × 528 = 11 × 432. Ce contrôle refaisable montre que chaque critère donne ici un quotient entier.
En pratique
Pour tester rapidement une liste d’entiers, on observe d’abord le chiffre des unités lorsque le diviseur est 2. Ce geste est plus direct qu’une division, car un seul chiffre suffit.
Pour 3 ou 9, on additionne les chiffres. Si la somme reste grande, on peut recommencer sur cette somme : la divisibilité recherchée ne change pas. La division euclidienne devient utile si l’on veut aussi le quotient.
Pour 11, on marque mentalement les positions alternées afin de ne pas perdre un signe. Sur 4 752, les groupes sont 4 + 5 et 7 + 2 ; leur différence vaut 0. Cette organisation est préférable à une somme ordinaire, qui ne teste pas 11.
À ne pas confondre
Un critère de divisibilité donne un verdict sans calculer le quotient, tandis que la division euclidienne produit un quotient et un reste. Pour 4 752 et 11, la somme alternée nulle prouve la divisibilité ; seule la division donne ensuite le quotient 432.
La divisibilité par 3 et la divisibilité par 9 utilisent la même somme, mais pas le même seuil. Une somme des chiffres égale à 12 est multiple de 3 sans être multiple de 9 : l’entier correspondant est alors divisible par 3, pas par 9.
Limites et pièges
Pour 11, commencer la somme alternée avec un signe moins au lieu d’un signe plus change seulement le signe du résultat. Un multiple de 11 reste un multiple de 11 après ce changement ; il faut conserver l’alternance, pas imposer un premier signe.
Une somme alternée n’a pas besoin de valoir 0. Si elle vaut 11, −11, 22 ou tout autre multiple de 11, le critère est satisfait. Exiger 0 donnerait donc de faux rejets ; il faut tester la divisibilité de la différence par 11.
Le nombre 0 est divisible par 2, 3, 9 et 11, car il est un multiple de chacun de ces entiers. En revanche, aucun entier ne se teste comme « divisible par 0 » : la division par zéro n’est pas définie. Pour un entier négatif, on peut appliquer le critère à sa valeur absolue.
Pour aller plus loin
congruence modulo n éclaire pourquoi les puissances de 10 produisent les sommes simples ou alternées utilisées par les critères.
Division euclidienne montre comment obtenir le quotient et le reste lorsque le seul verdict de divisibilité ne suffit pas.
Des critères magiques prolonge l’étude par d’autres procédures de divisibilité et leurs ressorts arithmétiques.
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