ruban de Pascal

Pour savoir si un grand nombre est divisible par 7, on peut lui faire subir une réduction régulière. On prend ses chiffres en commençant par les unités et on les multiplie par une suite de petits nombres : pour 7, cette suite commence par 1, 3, 2, 6, 4 et 5. La somme obtenue est beaucoup plus courte que le nombre de départ.

Cette suite est le ruban de Pascal. Si la somme réduite est divisible par 7, le nombre initial l’est aussi. Sinon, on peut recommencer sur la somme, comme avec 134 puis 15 pour le nombre 123 456 789.

Soit d un entier fixé avec d≥2 et soit a un entier écrit en base 10. Le ruban de Pascal est la suite des restes de 10⁰, 10¹, 10², … dans la division par d. Le premier terme vaut donc 1 modulo d. Chaque terme est associé à un chiffre de a, en partant du chiffre des unités.

La somme des produits des chiffres par les termes correspondants possède le même reste modulo d que a. Elle est donc divisible par d exactement lorsque l’entier de départ l’est. Si cette somme reste volumineuse, le même procédé peut être appliqué à la somme obtenue. La construction est finie ou périodique à partir d’un certain rang, car il n’existe qu’un nombre fini de restes modulo d.

Lorsque 0 apparaît dans le ruban, les termes suivants sont nuls. Pour d égal à 2, 5 ou 25, cela produit les zéros annoncés par la source après les rangs correspondants. Les représentants négatifs, comme −1, −3 et −2 à la place de 6, 4 et 5 modulo 7, allègent parfois les calculs. La méthode peut aussi être transposée à une base de numération autre que 10.

On rencontre le ruban de Pascal lorsqu’un entier écrit avec ses chiffres décimaux doit être testé sans effectuer sa division complète. Le support est une suite ordonnée de nombres, lue depuis les unités : pour le diviseur 7, les premiers termes sont 1, 3, 2, 6, 4 et 5, puis la suite recommence. Le nombre de départ porte l’information à tester ; le ruban transforme ses chiffres en une somme de produits.

La méthode est particulièrement visible dans les critères de divisibilité par 2, 5, 3, 9 ou 11. Elle ne remplace pas le diviseur choisi : chaque ruban dépend de d, et un ruban construit pour 7 ne sert pas directement à conclure pour 11.

Le ruban se lit dans un sens précis : le premier terme accompagne le chiffre des unités, le deuxième celui des dizaines, puis on avance vers la gauche. Pour le diviseur 7, la suite utile est 1, 3, 2, 6, 4, 5 avant sa répétition. Le bon réflexe consiste à ne pas aligner le premier terme sur le chiffre le plus à gauche.

Pour un entier écrit avec les chiffres c₀, c₁, … depuis les unités, on calcule la somme des produits avec les termes correspondants du ruban : Cette somme a le même reste modulo 7 que le nombre initial ; on vérifie alors si elle est un multiple de 7. Remplacer 6, 4 et 5 par −1, −3 et −2 donne souvent une somme plus maniable.

On cherche si 123 456 789 est divisible par 7. Les données sont le diviseur 7, les chiffres lus depuis les unités 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 et les six poids 1, 3, 2, 6, 4, 5 qui se répètent.

On associe les chiffres aux poids successifs :
La somme vaut exactement 134.

On recommence avec 134 :
La nouvelle somme vaut exactement 15.

Comme 15 n’est pas divisible par 7, 123 456 789 ne l’est pas non plus. Le contrôle direct donne 7×17 636 684 = 123 456 788, puis il reste 1 : le verdict est cohérent.

Pour un nombre court, le ruban fournit une règle de calcul mental ou écrit. On garde les chiffres depuis les unités, on applique les poids du diviseur choisi, puis on réduit encore la somme si nécessaire.

Pour 2 ou 5, le dernier chiffre suffit généralement, car les puissances de 10 deviennent nulles modulo ces diviseurs. Pour 3 ou 9, l’addition des chiffres est plus directe ; on préfère donc cette règle classique lorsque le nombre est écrit en base 10.

Pour 7, le ruban est utile parce que la règle est moins immédiate. Les poids négatifs −1, −3 et −2 peuvent remplacer 6, 4 et 5 et réduire les produits à effectuer.

Le ruban de Pascal n’est pas une simple addition des chiffres dans tous les cas. Cette addition est bien le critère usuel pour 3 et 9, parce que toutes les puissances de 10 valent 1 modulo ces diviseurs ; pour 7, les poids changent de position en position. Le cas de 123 456 789 tranche immédiatement : la somme des chiffres vaut 45, tandis que le ruban de 7 conduit à 134 puis 15.

Le ruban n’est pas non plus une division posée. Il conserve le reste modulo d par une combinaison de chiffres ; une division classique donne le quotient et le reste, alors que le ruban vise seulement le test de divisibilité.

Le ruban dépend du diviseur et de la base d’écriture. Employer les poids de 7 pour tester 11 est un piège : les poids doivent être recalculés avec les restes des puissances de 10 modulo 11. De même, une écriture dans une autre base demande les puissances de cette base, pas celles de 10.

Le cas où un reste nul apparaît est charnière. À partir de ce rang, tous les termes suivants sont nuls ; il ne faut donc pas prolonger la suite avec des valeurs non nulles. Pour 2 et 5, le premier terme associé aux unités vaut 1, puis les termes liés aux puissances de 10 sont nuls dès le rang suivant ; pour 25, le phénomène commence au rang deux.

Enfin, une suite sans zéro n’est pas nécessairement sans structure : les restes se répètent à partir d’un certain rang, car le nombre de restes possibles est fini. Une répétition ne signifie pas que les poids sont tous égaux, comme le montre la période 1, 3, 2, 6, 4, 5 pour 7.

La méthode s’inscrit dans les techniques élémentaires de l’arithmétique : l’écriture décimale permet de remplacer un entier par une combinaison de puissances de 10, puis de travailler sur les restes. Cette idée ouvre naturellement vers l’arithmétique modulaire et vers les critères de divisibilité construits dans d’autres bases.

Pour replacer le calcul dans une réflexion plus large sur les opérations arithmétiques et leurs stratégies, l’article Diviser pour régner propose un autre angle de lecture. Le lecteur y gagne un rapprochement entre réduction d’un problème et calcul effectif, sans confondre les deux méthodes.