ArithmétiqueNotion · Glossaire
nombre Harshad
Un nombre Harshad, également appelé nombre de Niven ou nombre multinumérique, est un entier naturel strictement positif divisible par la somme de ses propres chiffres dans une base donnée. Ces nombres ont été découverts par Kaprekar ; le terme harshad est un mot sanskrit signifiant « grande joie ». Le mathématicien canadien Ivan Niven les a étudiés de façon approfondie et leur a consacré une conférence en 1977. En 1994, Helen G. Grundman a démontré qu'il n'existe pas, en base 10, de suite de 21 nombres consécutifs tous Harshad.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le critère fondé sur la somme des chiffres.
- Refaire le test complet sur 1729 et le contrôler par multiplication.
- Tenir compte de la base d'écriture et du cas particulier de zéro.
- Connaître la limite de vingt et un nombres consécutifs en base 10.
En clair
Prenons 1729 et additionnons ses chiffres : 1 + 7 + 2 + 9 = 19. La division tombe juste, car 1729 ÷ 19 = 91. Le nombre 1729 est donc un nombre Harshad en base 10.
Le test relie ainsi un entier à sa propre écriture : les chiffres fournissent eux-mêmes le diviseur à essayer. Si la division laisse un reste, l'entier n'est pas Harshad dans la base choisie.
Définition
Soit un entier naturel strictement positif, noté , écrit dans une base entière, notée , avec . La somme de ses chiffres dans cette base est notée . Le nombre est Harshad dans la base lorsque cette somme divise l'entier sans reste. Le critère complet s'écrit :
Cette propriété dépend de l'écriture choisie : changer de base change les chiffres, donc peut changer leur somme et le verdict. En base 10, 1729 a pour somme 19 et vérifie le critère. Un nombre Harshad est aussi appelé nombre de Niven ou nombre multinumérique. Kaprekar a découvert ces nombres ; le mot sanskrit harshad signifie « grande joie ». Ivan Niven, mathématicien canadien, les a étudiés en profondeur et leur a consacré une conférence en 1977.
Un exemple, pas à pas
Vérifions si 1729 est Harshad en base 10. Les données sont l'entier 1729, ses quatre chiffres 1, 7, 2 et 9, et la base 10. Le contrôle consiste à comparer l'entier à la somme produite par ces chiffres.
1. Additionner les chiffres : 1 + 7 + 2 + 9 = 19.
2. Diviser l'entier par cette somme : 1729 ÷ 19 = 91.
3. Constater que le quotient 91 est entier et que le reste vaut 0. Le verdict est donc positif : 1729 est un nombre Harshad en base 10.
Le contrôle inverse est refaisable sans division : 19 × 91 = 1729. Il confirme exactement que la somme des chiffres divise le nombre.
En pratique
Pour tester un entier donné en base 10, on additionne ses chiffres, puis on effectue une division. Avec 1729, la somme 19 conduit au quotient entier 91 : le test conclut immédiatement.
Pour contrôler le calcul, on préfère une multiplication lorsque le quotient est déjà connu. L'égalité 19 × 91 = 1729 vérifie à la fois le quotient et l'absence de reste.
Pour examiner la propriété dans une autre base, il faut d'abord réécrire l'entier dans cette base. Réutiliser les chiffres décimaux donnerait un mauvais test, car la somme pertinente est celle de l'écriture effectivement choisie.
À ne pas confondre
Un nombre Harshad ne se confond pas avec un entier qui satisfait un critère de divisibilité fixé à l'avance. Pour un nombre Harshad, le diviseur est la somme de ses propres chiffres et varie donc avec le nombre.
Le cas 1729 tranche nettement : on ne teste pas systématiquement une divisibilité par 19 pour tous les entiers. Le nombre 19 apparaît ici parce que 1 + 7 + 2 + 9 = 19.
Limites et pièges
La base fait partie du test. En base 10, 1729 s'écrit avec les chiffres 1, 7, 2 et 9, dont la somme vaut 19. En base 2, il s'écrit 11011000001 ; la somme de ses chiffres vaut 5, qui ne divise pas 1729. Il faut donc toujours annoncer la base avant de conclure.
Le cas de zéro exige une convention. L'écriture 0 a une somme de chiffres nulle, et une division par 0 n'est pas définie. Le critère opérationnel porte donc sur les entiers naturels strictement positifs ; inclure 0 parmi les naturels ne suffit pas à le déclarer Harshad.
Une longue série ne peut pas être supposée. Helen G. Grundman a démontré en 1994 qu'en base 10, il n'existe aucune suite de 21 nombres consécutifs tous Harshad. Une recherche de séries doit donc tester chaque entier et respecter ce seuil : vingt et un termes consécutifs sont impossibles.
Pour aller plus loin
Les Critères de divisibilité prolongent le calcul en montrant comment reconnaître la divisibilité par un diviseur fixé, sans effectuer directement la division.
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