ArithmétiqueNotion · Glossaire
Kaprekar Dattatreya Ramachandra
Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905–1988) est un mathématicien indien autodidacte, connu pour ses travaux sur les entiers, menés en marge de sa carrière d’instituteur. Dans le cas classique à quatre chiffres et avec des chiffres non tous identiques, la constante de Kaprekar est 6174, valeur atteinte par la suite produite par son algorithme : on réordonne les mêmes chiffres dans les deux sens, puis on soustrait. Son nom est aussi associé aux nombres de Kaprekar, aux nombres Harshad et aux auto-nombres, notions développées plus loin.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier Kaprekar et les étapes biographiques explicitement données.
- Refaire la routine 1234 → 3087 → 8352 → 6174.
- Comprendre le point fixe 6174 et le rôle du zéro initial.
- Distinguer constante, algorithme, nombres de Kaprekar et nombres Harshad.
- Repérer les limites liées aux chiffres identiques et au nombre de positions.
En clair
Écrivez 1234, puis rangez ses chiffres du plus grand au plus petit et du plus petit au plus grand. La soustraction 4321 − 1234 donne 3087. En recommençant avec 3, 0, 8 et 7, on obtient 8730 − 0378 = 8352, puis 8532 − 2358 = 6174.
Cette routine montre le goût de Kaprekar pour les comportements cachés des nombres. La constante de Kaprekar est le nombre vers lequel cette suite aboutit dans le cas décrit ; arrivée à 6174, la soustraction le reproduit.
Définition
Dattatreya Ramachandra Kaprekar est un mathématicien indien autodidacte qui a étudié les propriétés remarquables des entiers, en marge d’une carrière d’instituteur. Son nom est associé à plusieurs familles et constructions de l’arithmétique récréative.
La constante de Kaprekar désigne la valeur vers laquelle converge une suite produite par l’algorithme de Kaprekar. Dans le cas classique à quatre chiffres, on réarrange les mêmes chiffres dans l’ordre décroissant et dans l’ordre croissant, puis on soustrait le second nombre du premier. L’exemple conducteur part de 1234 et atteint 6174. Le zéro initial de 0378 doit être conservé comme position, même s’il ne change pas la valeur numérique.
Ses autres résultats cités ici sont les nombres de Kaprekar, définis par une propriété particulière de leur carré, les nombres Harshad, divisibles par la somme de leurs chiffres, et les auto-nombres, aussi appelés nombres colombiens. Ces notions ne sont pas interchangeables : chacune porte sur un test arithmétique différent. La reconnaissance internationale de Kaprekar commence à partir de 1975, notamment grâce aux articles de Martin Gardner dans Scientific American.
Un exemple, pas à pas
Partons de 1234. Les données sont les quatre chiffres 1, 2, 3 et 4 ; à chaque tour, ils sont rangés dans les deux ordres avant la soustraction. Un zéro éventuel reste une position de l’écriture à quatre chiffres.
1. L’ordre décroissant donne 4321 et l’ordre croissant donne 1234. Leur différence est 4321 − 1234 = 3087.
2. Les chiffres de 3087 donnent 8730 et 0378. La différence est 8730 − 0378 = 8352.
3. Les chiffres de 8352 donnent 8532 et 2358. La différence est 8532 − 2358 = 6174. La valeur recherchée est atteinte après trois opérations.
4. Contrôlons le point fixe avec les chiffres de 6174 : 7641 − 1467 = 6174. Le résultat se reproduit, ce qui vérifie l’arrêt de cette suite.
En pratique
Pour refaire la routine à la main, écrivez les chiffres en deux lignes, l’une décroissante et l’autre croissante. Cette présentation permet de vérifier visuellement que les deux nombres utilisent exactement les mêmes chiffres.
Pour contrôler une étape, soustrayez le plus petit réarrangement du plus grand, puis réutilisez les chiffres du résultat. Si un zéro apparaît, gardez-le dans l’écriture suivante : 0378 est la forme à quatre positions associée à 378.
Pour repérer la fin du calcul, appliquez encore une fois la règle à 6174. Le retour à 6174 confirme le point fixe ; un résultat différent signale une erreur de rangement ou de soustraction.
À ne pas confondre
La constante de Kaprekar est une valeur, tandis que l’algorithme de Kaprekar est la procédure qui réordonne les chiffres et calcule une différence. Dans l’exemple, 3087 et 8352 sont des résultats intermédiaires de l’algorithme ; seul 6174 est la constante atteinte.
Un nombre de Kaprekar ne se reconnaît pas par cette routine. Le critère d’un nombre de Kaprekar porte sur son carré, alors que le critère de la constante porte sur des réarrangements de chiffres suivis d’une soustraction.
Un nombre Harshad relève encore d’un autre test : il doit être divisible par la somme de ses chiffres. Le calcul de cette somme ne remplace donc pas le réarrangement propre à l’algorithme de Kaprekar.
Limites et pièges
La routine classique concerne quatre chiffres non tous identiques. Avec 1111, par exemple, les deux réarrangements sont égaux et la différence vaut 0 ; ce cas ne permet pas de conclure à une convergence vers 6174.
Le zéro initial est un piège de lecture. Dans 8730 − 0378, écrire 378 ne change pas la valeur de la soustraction, mais efface une position nécessaire pour décrire correctement le réarrangement à quatre chiffres.
La valeur dépend aussi du nombre de positions. L’analogue à trois chiffres est 495 ; la routine à cinq chiffres n’a pas, dans la source, de constante universelle unique aussi simple. Il ne faut donc pas transposer automatiquement 6174 à une autre longueur.
Pour aller plus loin
Algorithme — Situer la routine de Kaprekar parmi les procédures ordonnées qui transforment des données jusqu’à un résultat.
Nombre de Kaprekar — Examiner la propriété liée au carré d’un entier et la distinguer de la constante obtenue par réarrangement.
Nombre Harshad — Comparer avec le test de divisibilité par la somme des chiffres, autre découverte attribuée à Kaprekar dans la définition de référence.
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