nombre de Kaprekar

Prenez 703 et élevez-le au carré : vous obtenez 494 209. En séparant ce nombre en 494 et 209, puis en les additionnant, vous retrouvez 703. C’est cette étonnante façon pour un nombre de se reconnaître dans son carré qui définit l’idée d’un nombre de Kaprekar.

La coupure dépend de la base d’écriture choisie ; le morceau droit doit être non nul, tandis que le morceau gauche peut être nul. En base 10, la propriété se vérifie donc en lisant les chiffres du carré, en choisissant une coupure, puis en contrôlant la somme.

Un nombre de Kaprekar est un entier naturel étudié dans une base fixée. Pour un entier n, on écrit son carré n² dans cette base, puis on le partage en une partie gauche L et une partie droite R. La définition générale exige que R soit non nul, tandis que L peut être nul, avec L + R = n.

La base intervient à deux endroits : elle détermine l’écriture de n² et la position possible de la coupure. Le même entier peut donc avoir la propriété dans une base et ne pas l’avoir dans une autre. En base 10, 703 fournit le cas conducteur : son carré s’écrit 494 209, et la séparation 494 | 209 donne 494 + 209 = 703.

La condition « partie droite non nulle » écarte une coupure qui ne laisserait aucun chiffre à droite. La définition porte sur l’existence d’une coupure convenable ; elle ne dit pas que toutes les coupures du carré conviennent.

Pour vérifier le cas de 703 en base 10, on dispose de deux données : le nombre de départ est 703 et son carré est 494 209. La coupure retenue sépare les trois chiffres de gauche des trois chiffres de droite.

On calcule d’abord le carré : 703 × 703 = 494 209.
On lit ensuite les deux parties : L = 494 et R = 209.
On additionne les parties : 494 + 209 = 703.
On compare enfin le résultat au nombre de départ : la somme redonne 703.

La vérification est complète : 703 est bien un nombre de Kaprekar en base 10. Le contrôle peut être refait dans l’autre sens en additionnant 494 et 209, sans utiliser une approximation.

Pour tester un entier en base 10, commencez par calculer exactement son carré. Écrivez le résultat sans supprimer les zéros qui seraient nécessaires à la position de la coupure, puis essayez les séparations dont la partie droite est non nulle, y compris lorsque la partie gauche est nulle ou vide.

Une calculatrice ou un programme aide à parcourir de nombreux entiers, mais le critère reste arithmétique : une coupure n’est retenue que si son morceau droit est non nul et si la somme des deux morceaux restitue l’entier testé ; le morceau gauche peut être nul.

Si l’on change de base, il faut convertir l’entier et son carré dans cette base avant de couper l’écriture. Une coupure faite dans les chiffres décimaux ne permet pas de conclure pour une autre base.

Un nombre de Kaprekar ne se confond pas avec un nombre automorphe. Pour un nombre automorphe, les derniers chiffres du carré reproduisent directement ceux du nombre ; pour un nombre de Kaprekar, il faut additionner deux parties non nulles du carré. Le cas 703 tranche : 494 209 ne se termine pas par 703, mais 494 + 209 vaut 703.

Il ne faut pas non plus confondre cette propriété avec le simple fait qu’un carré puisse être découpé. Le test décisif est la somme des deux morceaux : une coupure qui ne redonne pas l’entier initial ne suffit pas.

Le mot « base » est une condition réelle, pas un détail de présentation. La propriété doit être vérifiée dans la base annoncée, car l’écriture du carré et les coupures possibles en dépendent. Si la base change, le calcul doit être repris depuis le début.

Une coupure dégénérée ne convient pas. Si la partie droite est nulle ou absente, la condition de la définition n’est pas satisfaite ; une partie gauche nulle reste admise, comme dans la coupure 0|1.

La liste publiée par Kaprekar en 1980 comportait des omissions. Elle ne doit donc pas être traitée comme un inventaire complet : les nombres de la forme 10ⁿ − 1, 181 819 et 818 181 ont été signalés comme manquants, puis les lacunes ont été corrigées en 1981 par M. Charosh.

Le prolongement naturel consiste à comparer la même règle entre plusieurs bases. Cette perspective oblige à distinguer l’entier étudié de son écriture et montre pourquoi une propriété définie par une coupure ne se transporte pas automatiquement d’une base à l’autre.

L’histoire de la notion ouvre aussi une piste de recherche : après la liste publiée en 1980 et sa correction en 1981 par M. Charosh, Douglas Ianucci a établi en 2000 de nouvelles propriétés relatives aux nombres de Kaprekar.