ArithmétiqueNotion · Glossaire
constante de Kaprekar
La constante de Kaprekar est le nombre 6174. Elle doit son nom au mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar, qui la mit en évidence en 1949. L'algorithme de Kaprekar consiste à prendre un entier à quatre chiffres non tous identiques, à former les nombres les plus grand et le plus petit possibles par réarrangement de ses chiffres, puis à calculer leur différence. En répétant cette opération, on obtient une suite qui converge invariablement vers 6174, en au plus sept étapes. Par exemple, en partant de 1234 : 4321 − 1234 = 3087 ; 8730 − 0378 = 8352 ; 8532 − 2358 = 6174. Une fois atteint, le nombre 6174 est un point fixe de l'algorithme : 7641 − 1467 = 6174. Pour les entiers à trois chiffres, l'analogue est 495 ; à cinq chiffres, la routine ne converge pas vers une constante universelle unique et peut aboutir à plusieurs cycles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Exécuter la routine sur 1234 jusqu’à 6174.
- Contrôler que 6174 est un point fixe.
- Conserver les zéros nécessaires à une écriture sur quatre positions.
- Reconnaître les chiffres tous identiques et les autres longueurs comme des cas hors de l’énoncé.
En clair
Écrivez 1234, puis rangez ses chiffres une fois du plus grand au plus petit et une fois dans l’ordre inverse. La soustraction 4321 − 1234 donne 3087. Recommencez avec les quatre chiffres du résultat, en gardant le zéro : 8730 − 0378 donne 8352. Une dernière répétition conduit à 6174.
Ce nombre est la constante de Kaprekar. Une fois 6174 atteint, le même rangement le reproduit : 7641 − 1467 = 6174.
Définition
La constante de Kaprekar est 6174, point fixe d’une opération répétée sur les entiers à quatre chiffres dont les chiffres ne sont pas tous identiques. Les zéros font partie de l’écriture à quatre chiffres : le réarrangement de 3087 dans l’ordre croissant est donc 0378.
Pour un entier à quatre chiffres nommé n, notons D(n) le réarrangement décroissant de ses chiffres et C(n) leur réarrangement croissant. L’opération de Kaprekar, notée K, est définie par :
En remplaçant chaque résultat par K appliqué à ce résultat, 6174 est atteint en sept opérations au plus. Il reste ensuite inchangé, car 7641 − 1467 = 6174. La condition « chiffres non tous identiques » exclut les écritures comme 1111, pour lesquelles les deux réarrangements sont égaux. Avec trois chiffres, la routine analogue conduit à 495 ; avec cinq chiffres, la source ne donne pas de constante analogue aussi simple.
Un exemple, pas à pas
Partons de 1234. Les données sont ses quatre chiffres 1, 2, 3 et 4 ; à chaque tour, ils sont réordonnés, puis remplacés par les chiffres du résultat. Un éventuel zéro initial est conservé pour disposer encore de quatre chiffres.
1. Rangez 1, 2, 3 et 4 dans les deux sens : 4321 − 1234 = 3087.
2. Réordonnez 3, 0, 8 et 7 : 8730 − 0378 = 8352.
3. Réordonnez 8, 3, 5 et 2 : 8532 − 2358 = 6174. La constante est atteinte après trois opérations.
La suite des résultats fait apparaître le point d’arrêt : 1234, 3087, 8352, puis 6174.
Le contrôle consiste à effectuer un tour supplémentaire. Les chiffres de 6174 donnent 7641 − 1467 = 6174 : le résultat se reproduit bien.
En pratique
Pour essayer la routine à la main, écrivez toujours deux nombres de quatre chiffres avant chaque soustraction. Si un résultat contient un zéro, conservez-le dans les réarrangements suivants : 0378 est nécessaire face à 8730.
Pour contrôler une étape, comparez d’abord les chiffres des deux nombres réarrangés. Ils doivent être les mêmes, avec la même multiplicité. Si ce test échoue, corrigez le rangement avant de refaire la soustraction.
Pour savoir si l’expérience est terminée, préférez un tour de contrôle à un arrêt dès la première apparition de 6174. Le retour à 6174 confirme le point fixe ; avec une entrée admise et avant cette valeur, poursuivez la routine.
À ne pas confondre
La constante de Kaprekar est le résultat 6174, tandis que l’algorithme de Kaprekar est la procédure de réarrangement et de soustraction. Dans 4321 − 1234 = 3087, l’algorithme est déjà appliqué, mais la constante n’est pas encore atteinte.
Un point fixe n’est pas n’importe quel résultat intermédiaire. Le critère est qu’une nouvelle application de l’opération rende le même nombre : 6174 satisfait ce test, alors que 3087 devient 8352.
Limites et pièges
Si les quatre chiffres sont identiques, comme dans 1111, les deux réarrangements coïncident : 1111 − 1111 = 0. Cette situation est exclue de l’énoncé ; il ne faut donc pas lui appliquer la conclusion sur 6174.
Un zéro placé en tête du plus petit réarrangement ne doit pas être supprimé pendant la construction. Avec 3087, écrire 378 au lieu de 0378 masque le fait que la routine porte toujours sur quatre positions, même si la valeur soustraite reste la même.
La borne de sept concerne les entiers à quatre chiffres non tous identiques. Elle ne se transpose pas telle quelle à une autre longueur : pour trois chiffres, la valeur analogue donnée est 495, tandis qu’aucune constante à cinq chiffres aussi simple n’est fournie.
Pour aller plus loin
Algorithme — Situer la routine de Kaprekar parmi les procédures ordonnées qui transforment des données jusqu’à un résultat.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres