GéométrieNotion · Glossaire
Preuve par neuf
La preuve par neuf est une méthode de vérification arithmétique consistant à calculer le reste modulo 9 des deux membres d'une opération. Elle est basée sur le fait que tout entier est congru à la somme de ses chiffres modulo 9. Pour vérifier un produit a fois b = c, on compare les restes de a, b et c modulo 9 : si a fois b n'est pas congru à c modulo 9, le résultat est certainement faux. Cependant, la preuve par neuf ne détecte pas toutes les erreurs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Réduire les nombres par leur somme de chiffres et comparer leurs restes modulo 9.
- Contrôler pas à pas le produit 347 × 26 = 9 022.
- Savoir pourquoi un test réussi ne prouve pas l'exactitude du calcul.
- Reconnaître les erreurs multiples de 9 et les permutations que le test peut manquer.
En clair
Après avoir posé 347 × 26, on obtient 9 022. Pour contrôler rapidement ce résultat, on remplace chaque nombre par la somme de ses chiffres, puis on recommence si nécessaire. Ainsi, 347 donne 14, puis 5 ; 26 donne 8 ; et 9 022 donne 13, puis 4.
Du côté du calcul, 5 × 8 donne 40, qui se réduit à 4. Les deux côtés aboutissent au même reste. Le produit peut être juste, mais ce contrôle ne le prouve pas : il écarte seulement certaines erreurs.
Définition
La preuve par neuf est un contrôle fondé sur les restes dans la division par 9. Pour un entier écrit en base dix, la somme de ses chiffres a le même reste que cet entier. Si l'entier est désigné par n et ses chiffres par d0, d1, …, dk, cette propriété s'écrit . Elle vient du fait que chaque puissance de 10 a pour reste 1 modulo 9.
Pour contrôler un produit dont les facteurs sont a et b et dont le résultat annoncé est c, on calcule leurs restes modulo 9. La condition nécessaire est . Si elle échoue, le produit annoncé est faux. Si elle est satisfaite, il reste seulement compatible avec ce contrôle.
On peut conserver le reste 0 ou le représenter par 9 dans la présentation traditionnelle ; ces deux écritures désignent la même classe modulo 9. Le procédé s'applique aussi à l'addition et à la soustraction, en respectant leurs opérations sur les restes. Il ne justifie pas une division ordinaire des restes.
Un exemple, pas à pas
On veut contrôler le produit annoncé 347 × 26 = 9 022. Les données sont les deux facteurs 347 et 26, puis le résultat à tester 9 022.
1. Réduire le premier facteur : 3 + 4 + 7 = 14, puis 1 + 4 = 5. Le reste de 347 modulo 9 est 5.
2. Réduire le second facteur : 2 + 6 = 8. Le reste de 26 modulo 9 est 8.
3. Multiplier les deux restes : 5 × 8 = 40, puis réduire 40 par 4 + 0 = 4. Le côté gauche a donc pour reste 4.
4. Réduire le résultat annoncé : 9 + 0 + 2 + 2 = 13, puis 1 + 3 = 4. Le côté droit a lui aussi pour reste 4. Le contrôle est réussi.
Le calcul direct confirme 347 × 26 = 9 022. Pour constater la portée du test, remplaçons 9 022 par 9 023 : sa somme de chiffres vaut 14, donc son reste vaut 5. Comme 5 diffère de 4, la preuve par neuf détecte cette erreur.
En pratique
Lors d'une multiplication posée, la preuve par neuf fournit un contrôle mental rapide. Si les restes diffèrent, il faut reprendre les produits partiels ou l'addition finale. S'ils coïncident, un recalcul indépendant reste préférable lorsque l'exactitude compte.
Pour une longue addition, on peut additionner les restes des termes et comparer ce résultat au reste de la somme annoncée. Une différence signale une erreur ; une nouvelle addition dans un autre ordre constitue un contrôle plus fort.
Après une saisie à la calculatrice, ce test repère certaines fautes de chiffre. Une permutation de chiffres conserve toutefois leur somme ; lorsque ce risque est plausible, il vaut mieux relire la saisie ou refaire l'opération.
À ne pas confondre
Le critère de divisibilité par 9. Il répond à la question « ce nombre est-il divisible par 9 ? ». La preuve par neuf compare au contraire les restes des deux côtés d'une opération. Ainsi, 347 n'est pas divisible par 9, mais son reste 5 sert bien au contrôle de 347 × 26.
La racine numérique. Elle est obtenue en additionnant les chiffres jusqu'à n'en garder qu'un. Pour un entier positif, elle représente le reste modulo 9, sauf que le reste 0 est alors écrit 9. La preuve par neuf utilise cette réduction comme outil, mais elle porte sur la cohérence d'une opération.
Une preuve du résultat. Un contrôle réussi établit seulement une condition nécessaire. Le produit faux 347 × 26 = 9 031 passe aussi le test, car 9 031 et 9 022 diffèrent de 9 et ont le même reste modulo 9.
Limites et pièges
Écart multiple de 9. Si le résultat erroné diffère du bon résultat de 9, 18 ou de tout autre multiple de 9, les restes coïncident. Le symptôme est un test réussi malgré une valeur fausse. Il faut alors refaire le calcul par une méthode indépendante.
Chiffres permutés. Échanger deux chiffres ne change pas leur somme. Écrire 9 202 au lieu de 9 022 conserve donc le reste modulo 9, même si la valeur change. Une relecture chiffre par chiffre est mieux adaptée à cette faute.
Reste nul. Un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 9 a pour reste 0, même si l'usage scolaire note parfois 9. Mélanger les deux conventions au milieu du contrôle crée une fausse discordance ; il faut choisir une convention et la garder.
Division. Réduire séparément dividende et diviseur ne permet pas toujours de diviser leurs restes modulo 9 : un reste nul n'a pas d'inverse, et 3 ou 6 non plus. Il faut contrôler plutôt l'égalité « diviseur × quotient + reste = dividende ».
Pour aller plus loin
La page congruence modulo n formalise l'idée de nombres ayant le même reste et permet de replacer le contrôle modulo 9 dans un cadre général.
L'entrée arithmétique modulaire montre comment calculer avec des classes de restes, notamment pour additionner et multiplier sans perdre la congruence.
Les Critères de divisibilité expliquent pourquoi la somme des chiffres renseigne précisément sur la divisibilité par 9.
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