théorème de Kummer

Prenons l’exposant premier 37. Pour savoir si le résultat de Kummer règle le cas correspondant du dernier théorème de Fermat, on examine une liste précise de nombres de Bernoulli : B₂, B₄, jusqu’à B₃₄.

Le test demande si 37 divise le numérateur de l’un d’eux. Or 37 est cité parmi les premiers irréguliers : la voie directe offerte par le théorème de Kummer ne suffit donc pas pour cet exposant. Pour un premier régulier, au contraire, cette obstruction n’apparaît pas et le cas de Fermat est établi.

Le théorème de Kummer est un résultat d’arithmétique sur le dernier théorème de Fermat. Il s’applique lorsque l’exposant, noté p, est un nombre premier régulier. Dans ce cas, Kummer établit que le dernier théorème de Fermat est vrai pour l’exposant p.

La régularité de p se lit dans les nombres de Bernoulli d’indice pair. Pour suivre ce critère, on peut les voir comme une liste de nombres rationnels repérés par leur indice : chacun est considéré sous forme de fraction irréductible, et le test porte sur son numérateur. Il faut examiner B₂, B₄, puis tous les indices pairs jusqu’à B_p−3. Le premier p est régulier lorsqu’il ne divise aucun des numérateurs ainsi obtenus.

Un premier qui échoue à ce critère est dit irrégulier. Les nombres 37, 59 et 67 en sont des exemples donnés par la définition de référence. Cette qualification ne rend pas le dernier théorème de Fermat faux : elle signifie que le résultat de Kummer, sous sa forme réservée aux exposants réguliers, ne tranche pas directement ce cas. L’approche de Kummer a en outre ouvert l’étude des corps de nombres cyclotomiques.

Soit p un exposant entier premier impair. Si p ne divise le numérateur d’aucun des nombres de Bernoulli B₂, B₄, …, B_p−3, alors p est régulier et le dernier théorème de Fermat est vérifié pour l’exposant p.

Le critère et sa conséquence se résument ainsi :Ici, num désigne le numérateur du nombre de Bernoulli considéré.

Le résultat porte sur un exposant p entier et premier impair. Pour appliquer sa branche directe, il faut disposer des nombres de Bernoulli d’indice pair de 2 à p − 3, puis vérifier leurs numérateurs un par un. La condition exigée est l’absence totale de divisibilité par p dans cette liste.

Le cas p = 37 fournit un contre-cas concret : 37 est irrégulier, donc au moins un numérateur de la liste B₂, B₄, …, B₃₄ est divisible par 37. Le critère de régularité échoue et l’on ne peut pas invoquer cette conclusion directe de Kummer ; une analyse plus fine est nécessaire.

On veut déterminer ce que le théorème de Kummer autorise à dire pour l’exposant 37. Les données sont les suivantes : p vaut 37, c’est un nombre premier, et la définition de référence le classe parmi les premiers irréguliers. L’exemple propose donc une lecture guidée de cette classification fournie, et non un recalcul des nombres de Bernoulli. La figure synthétise le critère et son point d’arrêt.

1. On calcule le dernier indice à examiner : p − 3 = 37 − 3 = 34.
2. La liste pertinente est donc B₂, B₄, …, B₃₄.
3. On utilise alors la classification donnée : puisque 37 est irrégulier, le test « 37 ne divise aucun numérateur » est faux.
4. La condition suffisante du théorème pour un exposant régulier n’est pas satisfaite.

La conclusion de cette lecture est précise : cette branche du théorème de Kummer ne conclut pas directement pour l’exposant 37. On vérifie la cohérence de la borne en retrouvant B₃₄ comme dernier terme, puisque 34 = 37 − 3. Cela n’annonce aucun contre-exemple à Fermat ; cela impose seulement l’analyse plus fine signalée pour les premiers irréguliers.

Pour étudier un exposant premier, le premier geste consiste à déterminer s’il est régulier. Si aucun numérateur de la liste des nombres de Bernoulli n’est divisible par cet exposant, le théorème de Kummer donne directement le cas correspondant de Fermat.

Si le premier figure parmi les irréguliers, comme 37, 59 ou 67, on ne transforme pas cet échec du critère en verdict négatif. On abandonne seulement le raccourci réservé aux premiers réguliers et l’on passe à l’analyse plus fine requise.

Dans un parcours historique, ce résultat sert aussi de repère : il marque une avancée décisive du 19^e siècle et conduit naturellement vers les corps de nombres cyclotomiques.

Le théorème de Kummer n’est pas la définition d’un nombre premier régulier. Le critère de Bernoulli classe le premier ; le théorème utilise cette classe pour établir le cas correspondant du dernier théorème de Fermat. Pour 37, la classification « irrégulier » est disponible, mais la conclusion directe ne l’est pas.

Un premier irrégulier n’est pas un contre-exemple au dernier théorème de Fermat. Le test qui tranche est différent : « irrégulier » indique qu’au moins un numérateur de Bernoulli est divisible par p ; un contre-exemple à Fermat serait une affirmation d’une autre nature. Dans le cas de 37, il faut seulement poursuivre l’analyse.

Le critère ne se vérifie pas sur un seul nombre de Bernoulli choisi au hasard. Pour p = 37, la plage entière va de B₂ à B₃₄, par indices pairs. Omettre un terme peut masquer la divisibilité qui rend le premier irrégulier ; il faut donc contrôler toute la liste prescrite.

L’étiquette « irrégulier » signale une limite de cette application directe, pas une réfutation de Fermat. Le symptôme est la divisibilité d’au moins un numérateur par p. Pour 37, 59 ou 67, il faut remplacer l’argument réservé aux premiers réguliers par l’analyse plus fine annoncée dans la définition de référence.

Enfin, l’énoncé suppose que l’exposant est premier. Si l’exposant examiné n’est pas premier, le vocabulaire de premier régulier ou irrégulier ne s’applique pas à lui, et cette formulation du théorème de Kummer ne fournit pas le verdict recherché.

Le glossaire Premier régulier (nombre) isole le critère arithmétique qui constitue l’hypothèse centrale du résultat de Kummer.

La fiche théorème de Fermat replace cette contribution dans le problème auquel elle apporte une réponse pour chaque exposant premier régulier.

L’entrée Corps cyclotomique prolonge la piste ouverte par Kummer au-delà du seul critère formulé avec les nombres de Bernoulli.

La notice Kummer Ernst permet de situer le mathématicien auquel cette avancée décisive du 19^e siècle est attribuée.