théorème de Fermat

Prenez trois nombres entiers non nuls et élevez-les tous à la même puissance. Avec des carrés, 3² + 4² = 5² fonctionne. Dès que la puissance commune dépasse 2, le grand théorème de Fermat affirme qu’aucun choix d’entiers non nuls ne peut produire une telle égalité.

Fermat annonça ce résultat vers 1630 sans laisser sa preuve. Des cas particuliers furent résolus pendant des siècles, avant qu’Andrew Wiles n’achève une démonstration en 1994 grâce aux courbes elliptiques et aux formes modulaires.

Le grand théorème de Fermat, aussi appelé théorème de Fermat-Wiles depuis sa démonstration complète, est un résultat d’arithmétique. Les lettres x, y et z désignent des entiers non nuls, tandis que la lettre n désigne un entier strictement supérieur à 2. Dans ces conditions, l’équation $x^n+y^n=z^{n}x^n+y^n=z^n$ n’a aucune solution. Les entiers peuvent être positifs ou négatifs : la conclusion porte bien sur toute solution entière non nulle.

Vers 1630, Pierre de Fermat écrivit dans la marge de l’Arithmétique de Diophante qu’il possédait une démonstration, trop longue pour cette marge. Aux 18e et 19e siècles, Leonhard Euler, Sophie Germain, Peter Gustav Dirichlet, Adrien-Marie Legendre et Ernst Kummer prouvèrent le résultat pour certaines valeurs de l’exposant. La preuve que Fermat disait avoir trouvée, si elle a existé, n’a jamais été retrouvée.

Un lien établi en 1986 avec la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil a transformé le problème. En 1994, Andrew Wiles donna une démonstration complète fondée sur des outils modernes inconnus de Fermat. Cette longue recherche a largement contribué au développement de la théorie des nombres.

Soient x, y et z trois entiers non nuls, et soit n un entier strictement supérieur à 2. Si ces quatre nombres satisfaisaient l’équation suivante, ils formeraient une solution de l’équation de Fermat :

Le théorème affirme qu’une telle solution n’existe pas. Autrement dit, dès que l’exposant entier commun vaut 3, 4, 5 ou davantage, la somme de deux puissances n^ièmes non nulles ne peut pas être elle-même une puissance n^ième non nulle.

Le domaine est celui des entiers. Les trois nombres x, y et z doivent être non nuls, et l’exposant n doit lui-même être un entier strictement supérieur à 2. La même valeur de n porte sur les trois termes. Sous ces hypothèses, le résultat obtenu est une impossibilité, non une méthode pour calculer x, y ou z.

Le seuil n > 2 est décisif. Pour n = 2, le contre-cas 3² + 4² = 5² montre que l’impossibilité est fausse : on étudie alors les triplets pythagoriciens. Si l’un des trois entiers vaut zéro, l’énoncé du grand théorème ne s’applique pas ; il faut examiner séparément l’égalité restante.

Testons un cas précis sans prétendre démontrer le théorème entier. Les données sont x = 3, y = 4 et l’exposant n = 3. Il faut déterminer si un entier non nul z peut vérifier 3³ + 4³ = z³.

1. La première puissance vaut 3³ = 27.

2. La seconde puissance vaut 4³ = 64.

3. Leur somme vaut exactement 27 + 64 = 91.

4. Les cubes consécutifs qui encadrent 91 sont 4³ = 64 et 5³ = 125. Ainsi, . Aucun entier z n’a donc pour cube 91.

Le contrôle consiste à refaire les deux bornes : 64 < 91 < 125. Ce calcul élimine seulement le choix x = 3, y = 4 et n = 3. Le théorème, lui, élimine en une seule preuve tous les entiers non nuls et tous les exposants entiers supérieurs à 2.

Devant une équation de puissances, on commence par repérer le domaine des nombres et l’exposant commun. Si les inconnues sont des entiers non nuls et si cet exposant dépasse 2, le grand théorème donne immédiatement l’impossibilité.

Si l’exposant vaut 2, il faut changer d’outil : des égalités comme 3² + 4² = 5² existent. Le critère observable est donc la valeur de l’exposant, et non la seule forme « somme de deux puissances ».

Pour suivre l’idée de la preuve de Wiles, on ne cherche pas à tester les entiers un par un. On suppose qu’une solution existe et on lui associe une courbe elliptique particulière, dite courbe de Frey-Hellegouarch. Un résultat de Ribet impose alors à cette courbe de ne pas être modulaire, tandis que le résultat démontré par Wiles impose aux courbes de ce type d’être modulaires. Ces deux propriétés incompatibles contredisent l’existence de la solution supposée.

Le grand théorème de Fermat ne doit pas être confondu avec le petit théorème de Fermat. Le premier interdit des solutions entières non nulles à xⁿ + yⁿ = zⁿ pour tout entier n > 2. Le second concerne des congruences modulo un nombre premier. Une question portant sur un reste de division peut relever du petit théorème lorsqu’elle se place dans ce cadre, mais pas du grand.

Le cas des carrés n’est pas une exception au théorème : il est hors de ses hypothèses. Dès que n = 2, l’égalité 3² + 4² = 5² fournit un cas qui tranche.

Exposant au seuil. Pour n = 2, des solutions non nulles existent ; le symptôme est un triplet comme 3, 4 et 5. Il faut étudier les triplets pythagoriciens au lieu d’invoquer Fermat-Wiles.

Terme nul. Une égalité obtenue avec x = 0, y = z n’est pas un contre-exemple, car le théorème exige trois entiers non nuls. Il faut vérifier toutes les hypothèses avant de conclure.

Accumulation de tests. Constater que de nombreux essais échouent ne prouve pas une affirmation portant sur une infinité d’entiers et d’exposants. Un calcul ne traite qu’un cas ; la conclusion générale requiert la démonstration.

Preuve attribuée à Fermat. La note marginale annonce une démonstration, mais celle-ci n’a jamais été retrouvée. La preuve complète connue date de 1994 et utilise des outils modernes que Fermat ne pouvait pas connaître.

La courbe elliptique présente l’objet associé à une solution hypothétique dans la stratégie qui conduit à la contradiction.

La forme modulaire éclaire l’autre famille d’objets reliée aux courbes elliptiques dans la démonstration de Wiles.

Le petit théorème de Fermat permet de distinguer clairement deux résultats arithmétiques qui partagent le même nom.

L’article Le faux théorème de Fermat prolonge la réflexion sur les formulations trompeuses associées à ce nom célèbre.