conjecture de Taniyama-Shimura

Imaginez deux portraits numériques d’un même objet. Le premier vient d’une courbe elliptique, dont on compte les points après avoir réduit ses coordonnées modulo différents nombres premiers. Le second vient d’une forme modulaire, dont on lit les coefficients d’un développement en série.

Le résultat de Taniyama-Shimura affirme que, pour toute courbe elliptique définie sur les rationnels, ces deux portraits peuvent coïncider. Il relie ainsi deux mondes qui paraissent très différents : des équations algébriques et des fonctions dotées de fortes symétries.

La conjecture de Taniyama-Shimura, aujourd’hui appelée théorème de modularité, affirme que toute courbe elliptique définie sur le corps des nombres rationnels est modulaire. Une courbe elliptique est ici une courbe algébrique non singulière de genre 1 munie d’un point rationnel distingué. Elle peut s’écrire, après un choix convenable de coordonnées, par une équation de Weierstrass à coefficients rationnels.

Être modulaire signifie qu’il existe une forme modulaire cuspidale normalisée de poids 2 dont la fonction L est la même que celle de la courbe. De façon équivalente, pour tout nombre premier de bonne réduction, le coefficient de Fourier associé à ce nombre premier reproduit le défaut entre le nombre de points attendu et le nombre de points effectivement comptés sur la courbe réduite.

Formulée à la fin des années 1950 par Yutaka Taniyama et Goro Shimura, puis précisée par André Weil, la proposition a changé de statut après les travaux d’Andrew Wiles et ceux de Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor. Le nom historique de « conjecture » demeure fréquent, même si l’énoncé général est désormais un théorème.

Soit une courbe elliptique E définie sur le corps des rationnels. Alors il existe une forme modulaire cuspidale normalisée f, de poids 2 et d’un niveau déterminé par E, telle que leurs fonctions L coïncident.

Pour chaque nombre premier p où la courbe a bonne réduction, on note N_p le nombre de points de la courbe réduite sur le corps à p éléments, point à l’infini compris. Le coefficient a_p de f vérifie alors $a_p=p+1-N_{p}a\_p=p+1-N\_p$.

L’énoncé porte sur une courbe elliptique définie sur les rationnels : la courbe doit être non singulière et posséder un point rationnel distingué. Sa forme modulaire associée est de poids 2 ; son niveau encode les nombres premiers où la réduction de la courbe est mauvaise. La comparaison simple des coefficients a_p s’effectue aux nombres premiers de bonne réduction.

Une courbe singulière, par exemple une cubique avec un point double, n’est pas une courbe elliptique et ne relève donc pas directement de cet énoncé. De même, une courbe définie sur un corps de nombres plus général que les rationnels demande une version différente de la modularité : le théorème présenté ici ne suffit pas à conclure.

Considérons la courbe elliptique E d’équation $y^2=x^3-xy^2=x^3-x$. Pour observer un fragment de son portrait arithmétique, choisissons le nombre premier p égal à 5. Les données sont l’équation réduite modulo 5 et les cinq valeurs possibles de x et de y.

1. Pour x égal à 0, 1, 2, 3 et 4, le membre de droite vaut respectivement 0, 0, 1, 4 et 0 modulo 5.
2. Les carrés modulo 5 sont 0, 1 et 4. On obtient donc 1, 1, 2, 2 et 1 valeurs de y.
3. La courbe possède ainsi 7 points affines. Avec le point à l’infini, N₅ vaut 8.
4. Le défaut est $a_5=5+1-8=-2a\_5=5+1-8=-2$.

La forme modulaire associée à E porte donc le coefficient −2 au rang 5. Le contrôle est refaisable en listant les sept couples : (0,0), (1,0), (2,1), (2,4), (3,2), (3,3) et (4,0), puis en ajoutant le point à l’infini. Un seul nombre premier ne prouve pas la modularité ; il montre le type de correspondance que le théorème garantit simultanément.

Pour étudier une courbe elliptique sur les rationnels, le théorème permet de remplacer certaines questions géométriques par l’étude de coefficients modulaires. Le chercheur choisit le côté où les outils de calcul et les propriétés disponibles sont les plus efficaces.

Pour comparer concrètement une courbe et une forme candidate, on compte les points de la courbe modulo plusieurs nombres premiers de bonne réduction, puis on confronte les défauts obtenus aux coefficients de Fourier. Une discordance suffit à écarter la candidate.

Dans l’histoire du dernier théorème de Fermat, le passage par les courbes elliptiques a transformé un problème d’équations en un problème de modularité. Wiles et Taylor ont établi en 1995 le cas semi-stable nécessaire ; la modularité de toutes les courbes elliptiques sur les rationnels a ensuite été démontrée en 2001.

Une forme modulaire n’est pas une courbe elliptique. La première est une fonction analytique soumise à des symétries ; la seconde est une courbe algébrique munie d’une loi de groupe. Le théorème les associe par leurs données arithmétiques, sans les identifier comme objets.

Le théorème de modularité n’est pas le dernier théorème de Fermat. Le premier relie courbes elliptiques et formes modulaires. Le second exclut certaines solutions entières d’une équation de puissances ; sa preuve utilise un cas du premier.

« Conjecture » décrit ici l’histoire, non le statut actuel. Une proposition encore ouverte attend une preuve générale. L’énoncé de Taniyama-Shimura sur les courbes elliptiques sur les rationnels est, lui, démontré.

Bonne et mauvaise réduction. La formule de comptage $a_p=p+1-N_{p}a\_p=p+1-N\_p$ se lit directement aux nombres premiers de bonne réduction. À un nombre premier de mauvaise réduction, il faut employer les facteurs locaux adaptés plutôt que réutiliser mécaniquement ce comptage.

Un accord fini ne constitue pas la preuve. Vérifier quelques coefficients fournit un contrôle ou élimine une mauvaise candidate, mais ne démontre pas à lui seul l’égalité complète des fonctions L. Il faut un argument qui contrôle l’ensemble des données arithmétiques requises.

Le corps de base compte. Le résultat présenté concerne les courbes elliptiques sur les rationnels. Remplacer les rationnels par un corps arbitraire change le problème ; il faut alors consulter le théorème de modularité correspondant, s’il est disponible, au lieu d’étendre automatiquement cet énoncé.

La fiche courbe elliptique précise la nature de l’objet algébrique auquel s’applique le théorème.

La fiche forme modulaire développe l’autre côté de la correspondance et ses symétries.

La fiche théorème de Fermat replace la modularité dans l’aboutissement historique mentionné ici.