ArithmétiqueThéorème · Glossaire
petit théorème de Fermat
Le « petit » théorème de Fermat — par opposition au « grand » théorème, démontré bien plus tard par Andrew Wiles — est un résultat fondamental d'arithmétique, énoncé par Pierre de Fermat en 1640 dans une lettre à Frénicle de Bessy, sans preuve jointe. Des démonstrations furent publiées ultérieurement par Leibniz, Euler et Gauss. Le théorème affirme que si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors ap−1 − 1 est un multiple de p. Une formulation équivalente stipule que pour tout entier a et tout nombre premier p, la quantité ap − a est un multiple de p. Ce résultat est utilisé pour étudier la décomposition en facteurs premiers, notamment par Euler pour établir que les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers. Il trouve des applications en arithmétique modulaire, en théorie algébrique des nombres et en cryptographie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les deux formulations équivalentes du petit théorème de Fermat.
- Vérifier le résultat avec p = 5 et a = 2, puis contrôler la divisibilité obtenue.
- Identifier les hypothèses sur le nombre premier et sur l’entier choisi.
- Distinguer le petit théorème du grand théorème de Fermat et d’un test complet de primalité.
- Repérer les échecs liés à un module composé ou à une réciproque fausse.
En clair
Prenons le nombre premier 5 et multiplions plusieurs fois 2 par lui-même. Les puissances 2, 4, 8 et 16 laissent successivement les restes 2, 4, 3 et 1 lorsqu’on les divise par 5. Avec quatre facteurs 2, le reste revient donc à 1.
Ce retour n’est pas un hasard propre à 2 et 5. Le petit théorème de Fermat garantit un tel résultat pour tout nombre premier et tout entier qui n’est pas divisible par ce nombre premier.
Définition
Le petit théorème de Fermat est un résultat d’arithmétique modulaire. Notons p un nombre premier et a un entier non divisible par p. Le théorème affirme que la puissance ap−1 laisse le reste 1 dans la division par p. Autrement dit, , ou encore ap−1 − 1 est un multiple de p.
Une forme équivalente supprime la condition sur a : pour tout entier a et tout nombre premier p, . Cela signifie que ap − a est divisible par p. Si p divise a, cette seconde forme reste vraie parce que les deux membres ont alors le reste 0.
Pierre de Fermat énonce le résultat en 1640 dans une lettre à Frénicle de Bessy, sans joindre de preuve. Des démonstrations sont ensuite publiées par Leibniz, Euler et Gauss. Le théorème intervient dans l’étude des facteurs premiers, de l’arithmétique modulaire, de la théorie algébrique des nombres et de la cryptographie. Euler l’emploie notamment pour établir que les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers.
Le principe
Soit p un nombre premier et soit a un entier que p ne divise pas. Alors : . La notation « modulo p » compare les restes après division par p.
De façon équivalente, si a est un entier quelconque et p un nombre premier, alors : . Ainsi, ap − a est toujours un multiple de p.
Quand l'utiliser
Le domaine est celui des entiers. La première formulation exige deux vérifications : p doit être premier, et a ne doit pas être divisible par p. Elle permet alors de conclure que le reste de ap−1 modulo p vaut 1. La formulation ap − a accepte tout entier a, mais exige toujours que p soit premier.
Si l’on remplace p par le nombre composé 4 et que l’on prend a = 3, les hypothèses échouent : 33 − 1 = 26, qui n’est pas divisible par 4. Il faut alors effectuer directement le calcul modulo 4 ou employer un résultat adapté aux modules composés ; le petit théorème de Fermat ne suffit pas.
Un exemple, pas à pas
On vérifie le petit théorème de Fermat avec les mêmes nombres que dans l’intuition.
Données :
• nombre premier : p = 5 ;
• entier : a = 2 ;
• 5 ne divise pas 2.
Objectif :
• vérifier que 24 − 1 est un multiple de 5.
Données :
• nombre premier : p = 5 ;
• entier : a = 2 ;
• 5 ne divise pas 2.
Objectif :
• vérifier que 24 − 1 est un multiple de 5.
1. Calculer l’exposant : p − 1 = 5 − 1 = 4.
2. Calculer la puissance : 24 = 16.
3. Soustraire 1 : 16 − 1 = 15.
4. Diviser par p : 15 ÷ 5 = 3, sans reste.
2. Calculer la puissance : 24 = 16.
3. Soustraire 1 : 16 − 1 = 15.
4. Diviser par p : 15 ÷ 5 = 3, sans reste.
Le résultat est donc . Le contrôle par la forme équivalente donne 25 − 2 = 32 − 2 = 30, également divisible par 5. Le cycle des restes 2, 4, 3, 1 montre visuellement pourquoi la quatrième puissance atteint le reste attendu.
En pratique
En arithmétique modulaire, le théorème réduit de grandes puissances. Avec un module premier p et une base non divisible par p, on ramène l’exposant à l’aide de p − 1, au lieu de développer toute la puissance.
Pour tester un candidat n à la primalité, on choisit une base a première avec n, puis on vérifie la congruence attendue. Si elle échoue, n est composé. Une réussite ne suffit toutefois pas à prouver qu’il est premier ; un test de primalité plus complet est alors préférable.
En cryptographie, les calculs sur les puissances modulo un nombre structurent certains procédés. Le petit théorème de Fermat fournit une règle de réduction lorsque le module est premier ; si le module est composé, il faut tenir compte de sa factorisation ou employer un résultat adapté.
À ne pas confondre
Le grand théorème de Fermat. C’est un autre résultat, démontré bien plus tard par Andrew Wiles. Le petit théorème porte sur les restes de puissances modulo un nombre premier. Un énoncé qui conclut que 24 laisse le reste 1 modulo 5 relève donc du petit théorème, et non du grand.
Un test complet de primalité. Le petit théorème donne une condition nécessaire pour qu’un nombre soit premier, pas une caractérisation. Pour une base a première avec le candidat n, si la congruence attendue échoue, n est composé ; si elle réussit, n peut encore être composé. La réussite d’une seule congruence ne tranche donc pas toujours.
Limites et pièges
Le module doit être premier. Avec p = 4 et a = 3, on obtient 33 − 1 = 26, non divisible par 4. Ce résultat ne contredit pas le théorème : 4 est composé. Il faut calculer directement modulo 4 ou choisir un théorème valable pour un module composé.
La première forme exclut les multiples de p. Si p = 5 et a = 10, alors 104 laisse le reste 0, et non 1, modulo 5. La forme générale reste utilisable : 105 − 10 est bien divisible par 5.
La réciproque est fausse. Certains nombres composés satisfont pourtant la congruence pour des bases données. Observer an−1 ≡ 1 modulo n ne prouve donc pas, à lui seul, que n est premier. Il faut poursuivre avec un test de primalité approprié.
Pour aller plus loin
arithmétique modulaire — Interpréter précisément les congruences et les calculs sur les restes employés dans l’énoncé.
nombre premier — Revoir la propriété indispensable du module et la distinguer de la simple indivisibilité par une base.
nombre de Fermat — Relier le théorème à la famille de nombres dont Euler a montré qu’ils ne sont pas tous premiers.
Fermat et son « petit » théorème — Prolonger l’étude par un article centré sur Fermat et ce résultat arithmétique.
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