théorème de Wilson

Prenons le nombre 7 et multiplions tous les entiers positifs qui le précèdent : 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720. En ajoutant 1, on obtient 721, qui est divisible par 7. Le théorème de Wilson affirme que cette réussite caractérise exactement les nombres premiers : elle se produit pour 7 parce que 7 est premier, et ne se produirait pour aucun entier composé.

Le produit utilisé s’appelle une factorielle. Le test est exact, mais ce produit grossit si vite qu’il sert surtout à raisonner, rarement à tester de grands nombres.

Le théorème de Wilson est un critère nécessaire et suffisant de primalité. Soit p un entier au moins égal à 2. La notation (p − 1)! désigne la factorielle de p − 1, c’est-à-dire le produit de tous les entiers de 1 à p − 1. Le nombre p est premier si et seulement si p divise (p − 1)! + 1.

La même propriété s’écrit avec une congruence, qui compare les restes après division par p : $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)(p-1)!\backslash equiv\; -1\backslash pmod\; p$. Autrement dit, la division de (p − 1)! par p laisse le même reste que −1, soit p − 1. Les deux sens sont importants : tout nombre premier vérifie la congruence, et tout entier p ≥ 2 qui la vérifie est premier.

Ce critère est théoriquement complet, mais peu adapté au calcul de primalité pour de grands entiers. La taille de la factorielle et le nombre de multiplications nécessaires deviennent rapidement prohibitifs.

Soit p un entier tel que p ≥ 2. Alors p est premier si et seulement si la factorielle de p − 1 est congrue à −1 modulo p :

Cette équivalence donne un verdict dans les deux sens. Pour l’appliquer, on calcule le produit des entiers de 1 à p − 1, on ajoute 1, puis on vérifie sa divisibilité par p.

Le nombre testé doit être un entier p au moins égal à 2. Il faut prendre la factorielle complète de p − 1, puis examiner son reste modulo ce même entier p. Le critère conclut à la primalité exactement lorsque ce reste vaut p − 1, ce qui revient à obtenir un multiple de p après avoir ajouté 1.

Pour p = 8, par exemple, 7! + 1 = 5 041 n’est pas divisible par 8 : la division laisse un reste de 1. Le test conclut donc que 8 n’est pas premier. Pour un grand entier, le critère reste valable, mais le calcul de la factorielle devient prohibitif ; il faut alors préférer un autre test de primalité.

Testons p = 7. Les données sont l’entier 7, les six facteurs de 1 à 6 et le diviseur 7. Le schéma des inverses modulo 7 montre pourquoi les facteurs intermédiaires se regroupent par paires, tandis que 1 et 6 restent leurs propres inverses.

1. On calcule la factorielle : 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720.

2. On ajoute 1 au résultat : 720 + 1 = 721.

3. On divise par le nombre testé : 721 = 7 × 103. Le reste est donc nul.

Le théorème permet de conclure que 7 est premier. Un contrôle indépendant consiste à constater que ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 7. Sous la forme modulaire, le même calcul donne 720 = 7 × 102 + 6 : le reste de 6! vaut 6, c’est-à-dire 7 − 1, donc −1 modulo 7.

Pour un petit entier, le théorème fournit un contrôle direct : on calcule la factorielle précédente, on ajoute 1 et on regarde si le nombre testé divise le résultat. Le cas p = 7 tient en quelques lignes et rend l’équivalence vérifiable à la main.

Dans une démonstration, le critère est surtout précieux parce qu’il transforme la question « p est-il premier ? » en une propriété exacte de congruence. On choisit cette voie lorsque la factorielle éclaire un raisonnement arithmétique.

Pour tester un grand entier, l’accumulation des facteurs signale qu’il faut changer de méthode. Un autre test de primalité est alors préférable, car le théorème de Wilson exige toujours le calcul lié à (p − 1)!.

Le théorème de Wilson ne doit pas être confondu avec un critère qui fournirait seulement une condition nécessaire de primalité. Wilson donne une équivalence : si un entier p ≥ 2 satisfait la congruence, alors il est nécessairement premier. Le cas p = 8 tranche concrètement, puisque 7! n’est pas congru à −1 modulo 8.

Le seuil p ≥ 2 est indispensable. Pour p = 2, le critère fonctionne bien : 1! + 1 = 2 est divisible par 2. Les entiers 0 et 1 sont hors du domaine de l’énoncé ; il ne faut pas tenter d’en déduire leur primalité par cette formule.

Une conclusion correcte n’efface pas le coût du calcul. Même si seuls les restes modulo p sont conservés à chaque multiplication, il faut encore parcourir tous les facteurs de 1 à p − 1. Pour un grand p, un autre test de primalité doit remplacer ce critère théorique.

Le raccourci « si p est composé, alors (p − 1)! est divisible par p » admet un cas charnière : p = 4, car 3! = 6 n’est pas divisible par 4. Le théorème reste pourtant exact, puisque 3! + 1 = 7 n’est pas divisible par 4. Il faut donc appliquer l’équivalence elle-même, sans substituer ce raccourci.

La preuve moderne regroupe, parmi les restes non nuls modulo un nombre premier, chaque élément avec son inverse. Les paires distinctes ont pour produit 1 ; seuls 1 et −1 sont leurs propres inverses. Leur produit vaut −1, ce qui fait apparaître la factorielle du théorème.

Le vocabulaire utile se prolonge avec nombre premier, pour préciser la propriété caractérisée par le test, et arithmétique modulaire, pour approfondir congruences, restes et inverses.

L’histoire de l’énoncé traverse plusieurs attributions. En 1770, Edward Waring l’a publié sans démonstration en l’attribuant à John Wilson. Joseph-Louis Lagrange en a donné une première démonstration en 1771. Des travaux historiques indiquent que Gottfried Wilhelm Leibniz connaissait déjà une propriété apparentée et évoquent aussi des antécédents plus anciens.