nombre de Fermat

Partez d'un entier naturel, par exemple 3. Calculez d'abord 2³ = 8, utilisez ce résultat comme nouvel exposant, puis ajoutez 1 : 2⁸ + 1 = 257. Ce nombre est F₃, le quatrième nombre de Fermat.

Cette double montée en puissance fait grandir la suite très vite. Les cinq premiers termes, de F₀ à F₄, sont premiers ; F₅ ne l'est pas. Le premier échec suffit donc à réfuter la conjecture de Fermat.

Pour tout entier naturel n, le nombre de Fermat d'indice n, noté F_n, est défini par : $F_n=2^{2^n}+1F\_n=2^\{2^n\}+1$. L'exposant 2ⁿ est calculé avant la puissance extérieure. On obtient ainsi F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257 et F₄ = 65 537. Ces cinq nombres sont premiers. En revanche, les nombres allant de F₅ à F₃₂ sont établis comme composés ; aucun autre nombre de Fermat premier n'est connu à ce jour.

La forme est très restrictive. Si k est un entier strictement positif et si 2^k + 1 est premier, alors k doit être une puissance de 2. Cette condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas : k = 32 est une puissance de 2, tandis que 2³² + 1 = F₅ n'est pas premier. Deux nombres de Fermat d'indices distincts sont toujours premiers entre eux, propriété qui découle de l'identité reliant chaque terme au produit de tous les précédents.

À l'exception de F₁ = 5 = 2 + 3, aucun nombre de Fermat n'est la somme de deux nombres premiers. Aucun n'est non plus la différence de deux puissances de nombres premiers impairs. Enfin, le théorème de Gauss-Wantzel relie les nombres de Fermat premiers aux polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.

Vérifions que 257 est un nombre de Fermat. Les données sont l'entier proposé 257 et la définition F_n = 2²ⁿ + 1, avec un indice naturel n à déterminer.

1. Retirons 1 au nombre proposé : 257 − 1 = 256.

2. Écrivons 256 comme puissance de 2 : 256 = 2⁸. L'exposant obtenu, 8, est lui-même 2³. Le calcul comporte donc bien les deux étages exigés par la définition.

3. L'indice recherché est n = 3. En remplaçant n dans la définition, on retrouve exactement : $F_3=2^{2^3}+1=2^8+1=257F\_3=2^\{2^3\}+1=2^8+1=257$.

4. Contrôlons dans l'autre sens : 2³ = 8, puis 2⁸ = 256, puis 256 + 1 = 257. Le résultat est exact ; 257 est donc F₃, et la source indique qu'il est premier.

Pour reconnaître un candidat, soustrayez 1, puis vérifiez si le résultat est une puissance de 2 dont l'exposant est lui-même une puissance de 2. Ainsi, 257 passe successivement par 256 = 2⁸ et 8 = 2³. Si l'un des deux étages manque, le nombre n'est pas de la forme de Fermat.

Pour décider si un polygone régulier est constructible à la règle et au compas, décomposez son nombre de côtés. Le critère de Gauss-Wantzel accepte une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts. Pour 257 côtés, le facteur 257 est précisément F₃, qui est premier.

Pour étudier la primalité, la forme de Fermat fournit un candidat, pas un verdict. Les indices 0 à 4 donnent les seuls nombres premiers connus de cette famille, tandis que l'indice 5 donne déjà un nombre composé. Il faut donc une preuve de primalité ou de composition adaptée au nombre considéré.

Nombre de Fermat et nombre de Fermat premier. Le premier terme décrit seulement la forme F_n = 2²ⁿ + 1 ; le second ajoute l'exigence de primalité. F₃ = 257 appartient aux deux catégories, tandis que F₅ est un nombre de Fermat composé.

Être premiers et être premiers entre eux. Deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux : ils n'ont aucun diviseur commun supérieur à 1. Cela ne rend pas chacun d'eux premier. F₅ reste composé même s'il est premier avec chacun des autres nombres de Fermat.

Condition nécessaire, pas suffisante. Dans 2^k + 1, un exposant k qui n'est pas une puissance de 2 exclut la primalité. L'inverse est faux : k = 32 est bien une puissance de 2, mais 2³² + 1 = F₅ est composé. Il faut encore tester la primalité.

Une conjecture réfutée dès F₅. Les cinq premiers termes premiers ne prouvent pas que toute la suite l'est. Le cas F₅ suffit à rendre fausse la conjecture de Fermat, et tous les termes de F₅ à F₃₂ sont établis comme non premiers.

Facteurs distincts dans le critère géométrique. Pour la constructibilité d'un polygone régulier, les facteurs de Fermat premiers doivent être distincts. Il ne suffit pas que le nombre de côtés soit composé uniquement de puissances de 2 et de nombres de Fermat premiers ; une répétition d'un facteur de Fermat sort de la forme autorisée.

État des connaissances. Dire que F₀ à F₄ sont les seuls nombres de Fermat premiers connus ne signifie pas qu'aucun autre n'existe. Cette formulation distingue un résultat établi sur F₅ à F₃₂ d'une absence générale de découverte.

nombre premier — Revoir le critère de primalité qui sépare F₀ à F₄ des termes composés connus.

Premiers entre eux — Distinguer la primalité individuelle de l'absence de diviseur commun entre deux nombres de Fermat.

théorème de Gauss-Wantzel — Approfondir le critère exact reliant les facteurs de Fermat premiers aux polygones réguliers constructibles.

constructibilité — Situer la règle et le compas dans le cadre général des constructions géométriques autorisées.