Ennéagone

Tracez une figure fermée avec neuf segments : vous obtenez la forme générale d’un ennéagone, aussi appelé nonagone. Dans sa version régulière, les neuf côtés ont la même longueur et les neuf coins s’ouvrent de la même façon.

Chaque angle intérieur vaut alors 140°. Neuf angles de 140° donnent un total de 1 260°. Cette régularité crée une figure équilibrée, mais elle ne suffit pas à la rendre constructible exactement avec la seule règle non graduée et le compas.

Un ennéagone, ou nonagone, est un polygone à neuf côtés et neuf sommets. La fiche étudie son cas régulier : tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles intérieurs ont la même mesure. La somme des angles intérieurs dépend seulement du nombre de côtés. Pour neuf côtés, elle se calcule ainsi : $(9-2)\times {180}^{\circ }={1260}^{\circ }(9-2)\backslash times\; 180^\backslash circ=1260^\backslash circ$. Comme les neuf angles sont égaux, chacun mesure ${1260}^{\circ }÷9={140}^{\circ }1260^\backslash circ\backslash div\; 9=140^\backslash circ$.

La régularité et le nombre de côtés déterminent aussi la constructibilité exacte. Ici, une règle non graduée est une règle sans repères de mesure. Les nombres premiers de Fermat forment une famille particulière de nombres premiers, et le mot « distincts » signifie qu’aucun de ces facteurs ne peut être répété. Un polygone régulier est constructible à la règle non graduée et au compas lorsque son nombre de côtés est une puissance de 2 multipliée par des nombres premiers de Fermat distincts. Or 9 = 3² : le facteur 3 est répété. L’ennéagone régulier ne satisfait donc pas ce critère. On peut néanmoins en obtenir un tracé approché ou employer des instruments supplémentaires.

On veut vérifier les angles d’un ennéagone régulier. Les données sont : neuf sommets, neuf angles égaux et 180° pour la somme des angles d’un triangle. Depuis un sommet, la figure peut être partagée en triangles sans recouvrement ; la figure proposée matérialise cette décomposition.

1. Reliez le sommet choisi aux six sommets qui ne lui sont pas voisins.
2. Comptez les régions obtenues : il y a 9 − 2 = 7 triangles.
3. Additionnez leurs angles : $7\times {180}^{\circ }={1260}^{\circ }7\backslash times\; 180^\backslash circ=1260^\backslash circ$.
4. Répartissez cette somme entre les neuf angles égaux : ${1260}^{\circ }÷9={140}^{\circ }1260^\backslash circ\backslash div\; 9=140^\backslash circ$.

Chaque angle intérieur mesure donc 140°. Le contrôle est refaisable dans l’autre sens : neuf angles de 140° totalisent bien $9\times {140}^{\circ }={1260}^{\circ }9\backslash times\; 140^\backslash circ=1260^\backslash circ$, soit la somme des sept triangles.

Pour identifier la figure, comptez d’abord neuf côtés et neuf sommets. Si les longueurs ou les angles diffèrent, vous avez un ennéagone non régulier plutôt que le cas régulier étudié ici.

Pour contrôler un dessin régulier, mesurez plusieurs côtés puis les angles intérieurs. La valeur attendue pour chacun des neuf angles est 140°, et leur somme doit atteindre 1 260°.

Pour obtenir un tracé utilisable, choisissez une construction approchée ou un instrument supplémentaire. La règle non graduée et le compas seuls ne conviennent pas si l’objectif est une construction exacte.

Nonagone. Ce n’est pas une autre figure : nonagone est un synonyme d’ennéagone. Dans les deux cas, le critère décisif est le compte de neuf côtés.

Neuf côtés ne garantissent pas la régularité. Une figure peut avoir neuf côtés de longueurs différentes ou des angles différents. Il faut alors la nommer ennéagone sans lui attribuer automatiquement des angles de 140°.

La somme ne détermine pas chaque angle. Le total de 1 260° vaut pour un ennéagone, mais la division par neuf ne donne 140° pour chaque angle que si les neuf angles sont égaux.

Un tracé visuellement régulier n’est pas nécessairement exact. Une approximation peut sembler symétrique. Si la construction doit être exacte, la règle non graduée et le compas seuls échouent, car 9 = 3² répète le facteur premier de Fermat 3 ; il faut annoncer l’approximation ou changer d’instruments.

Heptadécagone : le vrai et le faux — Pour comparer l’ennéagone à un autre polygone régulier sous l’angle de la constructibilité.

Des constructions à foison — Pour prolonger la réflexion sur les possibilités et les contraintes des constructions géométriques.