Heptagone

Tracez un polygone simple non dégénéré à sept côtés, puis comptez ses sommets : vous obtenez un heptagone. Sa silhouette peut être irrégulière ; le nombre sept suffit à nommer la famille.

Dans un heptagone régulier, les sept côtés ont la même longueur et les sept angles intérieurs ont la même mesure. La figure répartit donc également les 900° formés par tous ses angles.

Un heptagone est un polygone plan délimité par sept côtés. Les rencontres successives de ces côtés forment sept angles. Pour un heptagone simple et non dégénéré, la somme des angles intérieurs vaut 900°. Cette valeur s'obtient ici avec le calcul $(7-2)\times {180}^{\circ }={900}^{\circ }(7-2)\backslash times\; 180^\backslash circ=900^\backslash circ$.

L'adjectif régulier ajoute deux conditions simultanées : les sept côtés sont de même longueur et les sept angles intérieurs sont de même mesure. Chaque angle intérieur mesure alors 900° ÷ 7, soit environ 128,57°. Un heptagone qui ne satisfait pas ces deux conditions reste un heptagone, mais il n'est pas régulier.

L'heptagone régulier possède aussi une limite de construction : il n'est pas constructible exactement avec la règle non graduée et le compas seuls. Cette restriction porte sur ces instruments et sur une construction exacte ; elle ne remet pas en cause les tracés approchés réalisés autrement.

On veut déterminer la mesure d'un angle intérieur dans un heptagone régulier représenté par la figure. Les données sont les suivantes :
— le polygone possède 7 côtés et 7 angles ;
— la somme de ses angles intérieurs vaut 900° ;
— ses 7 angles ont la même mesure.

1. Comme les angles sont égaux, on partage la somme totale entre les 7 angles.

2. Le calcul exact est ${900}^{\circ }÷7=\mathrm{128,571428}{\dots }^{\circ }900^\backslash circ\backslash div\; 7=128\{,\}571428\backslash ldots^\backslash circ$.

3. Arrondi au centième de degré, chaque angle intérieur mesure donc environ 128,57°.

4. Pour contrôler le résultat, on remultiplie la valeur exacte par 7 : on retrouve 900°. Avec la valeur arrondie, 128,57° × 7 donne 899,99° ; l'écart de 0,01° vient uniquement de l'arrondi.

Pour identifier une figure, comptez d'abord ses côtés. Sept segments qui délimitent le polygone conduisent au nom heptagone ; six ou huit côtés conduisent à une autre famille.

Pour décider si l'heptagone est régulier, contrôlez séparément les longueurs des côtés et les mesures des angles. Si une seule série varie, préférez l'appellation heptagone irrégulier.

Pour vérifier une mesure manquante, additionnez les angles déjà connus puis retranchez leur total à 900°. Dans le cas régulier, la division directe de 900° par 7 est plus adaptée.

Un hexagone possède six côtés, tandis qu'un heptagone en possède sept. Le comptage des segments du contour tranche immédiatement, même si les deux figures paraissent presque rondes.

Un octogone possède huit côtés. Une figure fermée dont le contour compte huit segments n'est donc pas un heptagone, quelle que soit son orientation.

Un heptagone régulier n'est pas synonyme de tout heptagone. Sept côtés suffisent pour le second ; l'égalité de tous les côtés et de tous les angles est exigée pour le premier.

Des côtés égaux ne suffisent pas, à eux seuls, à établir la régularité. Si les angles intérieurs ne sont pas tous égaux, il faut retenir seulement qu'il s'agit d'un heptagone.

La mesure 128,57° est arrondie. La valeur exacte est 900° ÷ 7 ; multiplier l'arrondi par sept donne 899,99°, sans contredire la somme exacte de 900°.

L'impossibilité de construction concerne la règle non graduée et le compas employés seuls, ainsi qu'un tracé exact. Un dessin approché ou obtenu avec d'autres moyens ne constitue donc pas un contre-exemple.

La raison de cette limite vient du critère de constructibilité des polygones réguliers : le nombre 7 n'est pas un nombre premier de Fermat et ne satisfait donc pas ce critère. Cette justification spécialisée explique l'impossibilité d'une construction exacte avec la règle non graduée et le compas seuls ; elle n'est pas nécessaire pour reconnaître un heptagone ou calculer ses angles.

Pour prolonger, comparez l’heptagone régulier avec d’autres polygones réguliers : le calcul de la somme des angles intérieurs suit la même méthode.