théorème de Gauss-Wantzel

Tracez un cercle et imaginez que vous voulez y placer 17 sommets parfaitement espacés, avec pour seuls outils une règle et un compas. Cette construction est possible. Avec 7 sommets, elle ne l'est pas. Le théorème de Gauss-Wantzel explique cette différence sans essayer tous les tracés : il suffit d'examiner le nombre de côtés. Certaines décompositions en facteurs autorisent la construction, les autres l'interdisent.

Le théorème de Gauss-Wantzel caractérise exactement les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas. Le nombre de côtés, noté n, doit être un entier au moins égal à 3. La construction est possible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts.

Un nombre de Fermat d'indice entier naturel k, positif ou nul, s'écrit $F_k=2^{2^k}+1F\_k=2^\{2^k\}+1$. Le critère n'accepte que ceux de ces nombres qui sont premiers. Les seuls nombres premiers de Fermat connus à ce jour sont 3, 5, 17, 257 et 65 537. Chacun doit apparaître au plus une fois, tandis que la puissance de 2 peut avoir n'importe quel exposant entier positif ou nul.

Ainsi, 17 satisfait le critère, tout comme 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 et 16. En revanche, 7, 9, 11 et 13 ne le satisfont pas. Gauss a publié en 1801 la condition suffisante ; Wantzel a démontré en 1837 la condition nécessaire, obtenant l'équivalence complète.

Soit n le nombre de côtés d'un polygone régulier, avec n au moins égal à 3. Le polygone est constructible à la règle et au compas si et seulement s'il existe un entier positif ou nul a et des indices entiers naturels distincts k₁, ..., k_r, tous positifs ou nuls, tels que chaque nombre de Fermat correspondant soit premier et que : Le produit peut ne contenir aucun nombre de Fermat.

Le critère s'applique à un polygone régulier et dépend uniquement de son nombre entier n de côtés. Il faut décomposer n en facteurs premiers. Le facteur 2 peut être répété. Chaque facteur premier impair doit être un nombre premier de Fermat et ne doit apparaître qu'une fois.

Le cas n = 9 montre les deux contrôles à effectuer. Le facteur 3 est bien un nombre premier de Fermat, mais 9 = 3² le répète. Le nonagone régulier n'est donc pas constructible à la règle et au compas. Il faut alors changer le nombre de côtés ou employer un autre cadre de construction.

On veut décider si le polygone régulier à 17 côtés peut être construit à la règle et au compas. La figure matérialise uniquement le résultat attendu : 17 sommets également espacés sur un cercle.

Donnée : le nombre de côtés est n = 17.
1. On cherche si 17 est un nombre de Fermat.
2. Avec l'indice k = 2, on calcule exactement 2²² + 1 = 2⁴ + 1 = 17.
3. Le nombre 17 est premier ; il figure donc parmi les facteurs impairs autorisés.
4. Sa décomposition utilise 17 une seule fois et aucune puissance supplémentaire de 2.

Le critère est satisfait : le polygone régulier à 17 côtés est constructible. Pour contrôler le raisonnement, on remplace 17 par 9 : la décomposition 9 = 3² répète le facteur de Fermat 3 et le verdict devient négatif.

Avant de chercher une construction d'un polygone régulier, on factorise son nombre de côtés. Pour 17, le critère autorise la recherche d'un tracé à la règle et au compas. Pour 7, il l'exclut et évite une recherche sans issue dans ce cadre.

Le test sert aussi à choisir entre plusieurs nombres de sommets. Si le nombre envisagé ne respecte pas la décomposition requise, on peut choisir un nombre voisin qui la respecte, comme 8 au lieu de 7.

Nombre de Fermat et nombre premier de Fermat. Un nombre de Fermat a la forme 2^2k + 1, où k est un entier naturel positif ou nul, mais cette forme ne garantit pas qu'il soit premier. Le théorème ne retient que les nombres de Fermat qui sont premiers.

Existence d'un polygone régulier et constructibilité à la règle et au compas. Un heptagone régulier est un objet géométrique bien défini, mais le facteur 7 échoue au critère. Son existence n'implique donc pas sa constructibilité avec ces deux outils.

Répéter un facteur impair autorisé. Le facteur 3 convient dans un triangle régulier, mais 9 = 3² ne convient pas : les nombres premiers de Fermat doivent être distincts. Il faut contrôler les exposants de la factorisation, pas seulement la liste des facteurs.

Confondre nombre de Fermat et nombre premier. La forme 2^2k + 1, où k est un entier naturel positif ou nul, ne suffit pas. Il faut encore que le nombre obtenu soit premier avant de l'utiliser dans le produit. Les seuls nombres premiers de Fermat connus à ce jour sont 3, 5, 17, 257 et 65 537.

Prendre la liste connue pour une liste définitivement complète. Le critère porte sur tous les nombres premiers de Fermat, pas seulement sur les cinq actuellement connus. Si un autre était établi, il fournirait lui aussi un facteur autorisé.

La constructibilité précise le cadre dans lequel une longueur ou une figure peut être obtenue à la règle et au compas.

Le nombre de Fermat approfondit la famille arithmétique dont les membres premiers interviennent dans le critère de Gauss-Wantzel.

L'article Heptadécagone : le vrai et le faux prolonge le cas emblématique du polygone régulier à 17 côtés.

L'article Des constructions à foison ouvre sur d'autres problèmes de construction à la règle et au compas.