Histoire et cultureNotion · Glossaire
Erchinger Johannes
Johannes Erchinger a donné la première construction effective à la règle et au compas de l'heptadécagone régulier, le polygone à 17 côtés. Il a ainsi transformé en procédure géométrique concrète la constructibilité que Gauss avait démontrée sans fournir de programme explicite. Cette construction exacte est possible parce que 17 est un nombre premier de Fermat.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'apport propre de Johannes Erchinger en 1825.
- Distinguer la preuve théorique de Gauss de la première construction effective.
- Relier la constructibilité du polygone régulier à 17 côtés à un nombre premier de Fermat.
- Éviter de confondre constructibilité exacte, procédure explicite et simple dessin.
En clair
En 1825, le mathématicien allemand Johannes Erchinger réalise un objet que l'on peut voir et tracer : un polygone régulier à 17 côtés obtenu à la règle et au compas. Gauss avait établi dès 1801 que cette construction était possible, sans en donner le mode d'emploi.
L'apport d'Erchinger est donc le passage de l'existence prouvée à une suite d'opérations géométriques effectivement réalisables. Il transforme un résultat théorique en procédure.
Définition
Johannes Erchinger (1788-1829) est un mathématicien allemand associé à la première construction effective, réalisée en 1825, de l'heptadécagone régulier. Cet objet est un polygone dont les 17 côtés sont égaux et dont les sommets sont régulièrement répartis. La construction n'emploie que la règle et le compas.
La possibilité théorique était connue depuis les Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, parues en 1801. Le raisonnement de Gauss mobilise les racines de l'unité et les corps cyclotomiques. Il s'appuie ici sur le fait que 17 est un nombre premier de Fermat. Pour le paramètre entier n égal à 2, cette forme s'écrit .
Deux résultats doivent être distingués. Gauss démontre que le polygone régulier à 17 côtés est constructible. Erchinger fournit ensuite un programme explicite de construction et rend cette existence géométriquement effective.
Un exemple, pas à pas
Voici un contrôle historique que l'on peut refaire sans prétendre reconstruire la procédure d'Erchinger. Il consiste à attribuer chaque résultat au bon auteur, puis à vérifier que les mots employés ne confondent pas preuve de possibilité, construction effective et simple dessin.
1. Repérer la preuve. Dans l'énoncé « en 1801, la constructibilité de l'heptadécagone régulier est démontrée », relevez le verbe démontrer et la date. Le résultat attendu est l'attribution à Gauss d'une preuve de possibilité, non d'un tracé détaillé.
2. Vérifier le cas numérique. Avec n égal à 2, calculez d'abord 2 au carré, puis 2 élevé à cette puissance, et ajoutez 1. Vous devez retrouver 17 : le nombre de côtés a bien la forme de Fermat indiquée dans la définition.
3. Repérer la réalisation. Dans l'énoncé « en 1825, Erchinger donne la première construction effective à la règle et au compas », relevez cette fois l'expression construction effective. Le résultat attendu est l'attribution à Erchinger d'une procédure géométrique, distincte de la preuve de 1801.
4. Contrôler une formulation. Testez toute phrase sur trois points : parle-t-elle d'un polygone régulier à 17 côtés, distingue-t-elle la possibilité de la procédure, et réserve-t-elle 1825 à Erchinger ? Si l'un de ces contrôles échoue, l'attribution ou la nature du résultat est imprécise.
Le contrôle est reproductible : « Gauss, 1801, preuve de possibilité » et « Erchinger, 1825, première construction effective » doivent former deux réponses distinctes. Il vérifie une attribution historique ; il ne fournit pas les opérations géométriques de la construction.
En pratique
Dans une question d'histoire des mathématiques, le geste utile consiste à séparer les deux dates. Si l'on demande qui a prouvé la possibilité, la réponse renvoie à Gauss en 1801. Si l'on demande qui a donné la première construction effective, elle renvoie à Erchinger en 1825.
Dans un problème de géométrie, on commence par vérifier que l'objet demandé est bien le polygone régulier à 17 côtés. Pour décider s'il est constructible, le résultat théorique suffit. Pour disposer d'une suite d'opérations à la règle et au compas, il faut un programme explicite.
Pour relier géométrie et arithmétique, on observe le nombre de côtés. Ici, la forme de Fermat de 17 explique la possibilité théorique. Une simple observation du dessin permet de compter les côtés, mais elle n'explique pas pourquoi la construction exacte existe.
À ne pas confondre
Erchinger et Gauss. Gauss démontre en 1801 que l'heptadécagone régulier est constructible ; Erchinger en donne en 1825 la première construction effective. Le critère qui tranche est donc la nature de l'apport : preuve d'existence ou procédure explicite.
Heptadécagone et heptadécagone régulier. Le premier nom indique seulement un polygone à 17 côtés. Dans le cas étudié, la régularité est indispensable : les côtés doivent être égaux et les sommets régulièrement répartis.
Constructibilité et tracé approximatif. Un dessin ressemblant à un polygone régulier à 17 côtés ne constitue pas une construction à la règle et au compas. Le cas décisif est celui d'une procédure géométrique explicite respectant les instruments autorisés.
Limites et pièges
Le rôle historique d'Erchinger est établi, mais les opérations de sa construction ne sont pas détaillées ici. L'exemple guidé permet seulement de vérifier l'attribution des résultats et la portée des termes employés ; reproduire la construction demanderait une présentation distincte de sa procédure géométrique.
Le cas numérique traité est précisément celui de 17 côtés, avec le paramètre n égal à 2 dans la forme des nombres de Fermat. Ce critère explique l'heptadécagone régulier ; il ne fournit pas à lui seul un classement de tous les polygones constructibles.
Le schéma d'un polygone à 17 sommets aide à reconnaître l'objet, mais ne remplace pas un programme de construction. Le symptôme de la confusion est l'absence d'étapes à la règle et au compas ; il faut alors revenir à la procédure explicite.
Les dates 1788 et 1829 bornent la vie d'Erchinger, tandis que 1825 date sa construction. Elles ne permettent pas, à elles seules, de préciser d'autres épisodes biographiques ; aucune chronologie supplémentaire ne doit en être déduite.
Pour aller plus loin
Heptadécagone : le vrai et le faux examine directement le polygone à 17 côtés et permet d'éprouver les affirmations qui l'entourent.
La fiche Gauss Carl situe le mathématicien auquel revient la preuve théorique de constructibilité citée ici.
La fiche nombre de Fermat approfondit la forme arithmétique qui rend le cas de 17 décisif.
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