Ostrowski (théorème de)

Prenons les puissances de 3 : 3, 9, 27, 81. Avec la distance habituelle, elles s’éloignent de 0. Avec la mesure 3-adique, c’est l’inverse : plus un nombre contient de facteurs 3, plus il est proche de 0. Ainsi, 81 est très petit au sens 3-adique.

Le théorème d’Ostrowski dit qu’il n’existe pas de troisième famille cachée pour mesurer la taille des rationnels. Toute valeur absolue non triviale donne, à un changement d’échelle près, soit la mesure habituelle, soit l’une de ces mesures liées à un nombre premier.

Une valeur absolue sur le corps des rationnels est une application, notée $\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }:\mathbb{Q}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}|\backslash cdot|:\backslash mathbb\{Q\}\backslash to\backslash mathbb\{R\}\_\{\backslash ge\; 0\}$, qui mesure la taille de chaque rationnel. Pour tous rationnels x et y, elle est nulle exactement en 0, elle est multiplicative et elle vérifie l’inégalité triangulaire :

Elle est dite non triviale si elle ne donne pas la valeur 1 à tout rationnel non nul. Deux valeurs absolues sont équivalentes lorsqu’elles définissent la même notion de convergence ; dans ce cadre, l’une est une puissance strictement positive de l’autre. Le théorème d’Ostrowski affirme que toute valeur absolue non triviale sur ℚ est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à une valeur absolue p-adique. Ici, p est un nombre premier. Si v_p(x) est l’exposant de p dans la décomposition du rationnel non nul x, la normalisation usuelle est : $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}_p=p^{-v_p(x)}|x|\_p=p^\{-v\_p(x)\}$.

Soit une valeur absolue non triviale sur ℚ. Alors il existe soit la valeur absolue usuelle, soit un unique nombre premier p, auquel cette valeur absolue est équivalente. Autrement dit, pour une constante réelle α strictement positive et pour chaque rationnel x, elle prend l’une des deux formes suivantes :

La notation avec l’indice ∞ désigne ici la valeur absolue usuelle. L’exposant α change les valeurs numériques, mais pas les suites convergentes ni la complétion obtenue. Avec l’inégalité triangulaire ordinaire, le cas usuel impose en outre α ≤ 1.

Le théorème porte sur une application définie sur tous les rationnels et à valeurs réelles positives ou nulles. Il faut vérifier la séparation de 0, la multiplicativité et l’inégalité triangulaire. Il faut aussi exclure la valeur absolue triviale, qui vaut 1 sur chaque rationnel non nul.

Le paramètre p d’une valeur absolue p-adique doit être premier. Par exemple, compter les puissances de 6 ne convient pas : 2 et 3 ne sont pas divisibles par 6, tandis que leur produit 6 l’est. Le comptage ne serait donc pas additif sur les produits. Il faut employer séparément les valuations 2-adique ou 3-adique.

Considérons la valeur absolue 3-adique du rationnel 18/5. Les données sont le nombre premier p = 3, le numérateur 18 = 2 × 3² et le dénominateur 5, qui n’est pas divisible par 3.

1. L’exposant de 3 dans 18 est 2, et celui de 3 dans 5 est 0. La valuation du quotient vaut donc 2 − 0 = 2.

2. La définition normalisée donne : $\mathrm{\mid }18\mathrm{/}5{\mathrm{\mid }}_3=3^{-2}=1\mathrm{/}9|18/5|\_3=3^\{-2\}=1/9$.

3. Avec la valeur absolue usuelle, le même rationnel a pour taille 18/5 = 3,6. Les deux mesures ne classent donc pas les nombres de la même façon.

Le contrôle consiste à multiplier 18/5 par 5/2, dont la valeur 3-adique est 1 : on obtient 9, dont la valeur 3-adique est bien 1/9. La figure prolonge ce calcul : les puissances de 3 grandissent au sens usuel et tendent vers 0 au sens 3-adique.

Pour décider quelles distances étudier sur ℚ, le théorème ramène le choix à deux familles. Si la taille ordinaire des fractions compte, on utilise la valeur absolue usuelle. Si la divisibilité par un premier p gouverne le problème, on choisit la valeur absolue p-adique.

Pour compléter ℚ, ce choix mène soit au corps des réels ℝ, soit au corps des nombres p-adiques ℚ_p. Une suite comme 3, 3², 3³, … diverge dans ℝ, mais converge vers 0 dans ℚ₃.

En arithmétique, on peut ainsi isoler un nombre premier. La mesure p-adique rend petites les quantités divisibles par une grande puissance de p, alors que la mesure usuelle renseigne sur leur grandeur réelle.

Valeur absolue usuelle et fonction valeur absolue. Sur ℚ, la valeur absolue usuelle est bien la restriction de la fonction réelle familière. Une valeur absolue p-adique est une autre mesure : 9 vaut 9 usuellement, mais 1/9 au sens 3-adique.

Valeurs absolues égales et équivalentes. Deux valeurs équivalentes peuvent donner des nombres différents. Par exemple, la valeur absolue usuelle et sa racine carrée sont équivalentes, car elles définissent les mêmes suites convergentes, mais elles donnent respectivement 4 et 2 au rationnel 4.

Le cas trivial est exclu. Si tout rationnel non nul a pour valeur 1, la distance obtenue est discrète. Cette valeur absolue ne relève ni du cas usuel non trivial ni d’un cas p-adique non trivial ; sa complétion reste ℚ.

La normalisation n’est pas unique. Certains textes choisissent une puissance positive de la normalisation p-adique usuelle. Le symptôme est une valeur attribuée à p différente de 1/p. Il faut comparer la convergence ou vérifier l’existence d’un exposant positif, et non exiger l’égalité numérique.

Le corps de départ compte. Le classement énonce toutes les valeurs absolues non triviales sur ℚ. Sur un corps de nombres plus grand, plusieurs places peuvent prolonger une même valeur absolue de ℚ. Il faut alors employer la théorie des places de ce corps, pas recopier la liste de ℚ.

Une complétion dépend d’une classe d’équivalence. Changer une valeur absolue par une puissance positive ne crée pas une nouvelle complétion topologique. À équivalence près, les complétions non triviales de ℚ sont ℝ et les corps ℚ_p, un pour chaque nombre premier p.

Le glossaire nombre p-adique développe la complétion de ℚ associée à une valeur absolue p-adique.

La fiche fonction valeur absolue reprend la mesure usuelle, qui constitue le cas archimédien du théorème.

La fiche Rationnels précise le corps de départ sur lequel porte exactement la classification d’Ostrowski.

L’article La genèse des espaces métriques replace les valeurs absolues parmi les outils qui engendrent distances, convergences et complétions.