AlgèbreThéorème · Glossaire
Kurshschak (Théorème de)
Le théorème de Kürschák est un résultat de la théorie des valuations en algèbre. Ici, le mot valuation est pris dans sa convention multiplicative : il désigne une valeur absolue ultramétrique. Le théorème affirme que tout corps muni d'une telle valeur absolue peut être complété en un corps complet pour cette valeur absolue, qui s'étend de manière unique à la clôture algébrique de ce corps. Ce résultat est fondamental dans la construction des corps p-adiques et dans l'étude des corps valués. Il garantit l'existence et l'unicité de certaines extensions de valuations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la complétion d’un corps de sa clôture algébrique.
- Lire l’hypothèse ultramétrique et reconnaître un contre-cas usuel.
- Vérifier sur une suite exacte pourquoi des écarts 3-adiques tendent vers zéro.
En clair
Avec la distance 3-adique, deux nombres sont très proches lorsque leur différence est divisible par une grande puissance de 3. Ainsi, les écarts 3, 9 puis 27 deviennent de plus en plus petits, à l’inverse de l’intuition habituelle.
Le théorème de Kürschák garantit que l’on peut ajouter les limites manquantes sans perdre cette manière de mesurer. Une fois le corps complet, la même mesure se prolonge de façon unique à ses nombres algébriques.
Définition
Un corps valué est un corps K muni d’une valeur absolue, notée |·|, qui mesure la taille de ses éléments et donc la distance entre deux éléments. Elle est ultramétrique lorsque, pour tous éléments x et y de K, elle vérifie . Cette inégalité forte explique qu’une différence divisible par une grande puissance du nombre premier choisi puisse être considérée comme petite.
Compléter K consiste à construire un corps complet dans lequel toute suite de Cauchy possède une limite, tout en conservant K et sa valeur absolue. La complétion est déterminée à un unique isomorphisme isométrique qui fixe K près : l’unicité ne signifie donc pas que toutes les constructions donnent littéralement le même ensemble.
Dans le cadre du théorème de Kürschák, la valeur absolue du corps complet se prolonge ensuite de manière unique à sa clôture algébrique. Cette seconde opération ajoute les solutions algébriques manquantes ; elle ne doit pas être confondue avec la première, qui ajoute des limites. Le résultat relie ainsi complétion, extensions de valuations et construction des corps p-adiques.
Le principe
Si un corps K est muni d’une valeur absolue ultramétrique, alors il admet une complétion : un corps complet contenant une copie isométrique et dense de K. Cette complétion est unique à un unique isomorphisme isométrique fixant K près. Si l’on part ensuite de ce corps complet, sa valeur absolue possède un unique prolongement à sa clôture algébrique.
Quand l'utiliser
Le point de départ est un corps K et une valeur absolue définie sur tous ses éléments. Cette valeur absolue doit être ultramétrique : la taille d’une somme ne dépasse jamais la plus grande taille de ses deux termes. La complétion conserve la valeur absolue de K et place K comme sous-corps dense du corps obtenu. Pour parler du prolongement unique à la clôture algébrique, le corps de départ de cette seconde étape est le corps complet.
La valeur absolue usuelle ne satisfait pas cette hypothèse : |1 + 1| = 2, tandis que le maximum de |1| et |1| vaut 1. Dans ce contre-cas, il faut employer la théorie de la complétion pour une valeur absolue ordinaire, et non invoquer la version ultramétrique de l’énoncé.
Un exemple, pas à pas
Considérons la valeur absolue 3-adique sur les rationnels. Un nombre non nul x s’écrit , avec a et b non divisibles par 3 ; sa taille vaut alors . Prenons s0 = 1, s1 = 1 + 3 = 4, s2 = 1 + 3 + 9 = 13 et s3 = 40.
1. L’écart s1 − s0 vaut 3, donc sa taille 3-adique vaut 1/3.
2. L’écart suivant vaut 9, puis le troisième vaut 27. Leurs tailles 3-adiques sont respectivement 1/9 et 1/27.
3. Plus généralement, pour deux indices m et n tels que m > n, la taille 3-adique de sm − sn vaut 3−(n+1). Elle tend vers 0 : la suite est donc de Cauchy.
4. La somme géométrique vérifie exactement (1 − 3)sn = 1 − 3n+1. Sa limite 3-adique est donc −1/2, ce que l’égalité (1 − 3)(−1/2) = 1 contrôle directement.
Les quatre termes montrent la diminution exacte des écarts 3-adiques. En général, le théorème garantit une limite dans la complétion à toute suite de Cauchy.
En pratique
Pour construire un corps p-adique, on part des nombres rationnels munis de la valeur absolue p-adique, puis on les complète. Le critère est la divisibilité par des puissances croissantes de p, plutôt que la petitesse usuelle d’un écart.
Pour étudier des solutions algébriques, on prolonge ensuite la valeur absolue du corps complet à sa clôture algébrique. Cette étape convient lorsque l’objet recherché est une racine d’un polynôme, et non seulement la limite d’une suite.
Si la mesure choisie est la valeur absolue usuelle, le test ultramétrique échoue déjà avec 1 + 1. On utilise alors la complétion adaptée à cette valeur absolue, sans lui attribuer les propriétés spécifiques du cadre ultramétrique.
À ne pas confondre
Complétion et clôture algébrique. La complétion ajoute les limites des suites de Cauchy ; la clôture algébrique ajoute les racines des polynômes. Une limite manquante appelle la première opération, une solution algébrique manquante la seconde.
Valeur absolue ultramétrique et valeur absolue usuelle. Dans le premier cas, |x + y| ne dépasse pas le maximum de |x| et |y|. Avec x = y = 1, la valeur absolue usuelle donne 2 au lieu d’un nombre inférieur ou égal à 1.
Unicité et égalité littérale. Deux complétions peuvent être construites avec des ensembles différents. Le critère décisif est l’existence d’un unique isomorphisme isométrique qui conserve chaque élément du corps initial.
Limites et pièges
L’ordre des opérations compte. L’extension unique de la valeur absolue à la clôture algébrique est formulée après le passage à un corps complet. Si la complétude n’est pas établie, il faut d’abord compléter le corps au lieu de transférer automatiquement la conclusion d’unicité.
Une complétion n’ajoute pas toutes les racines. Son symptôme est simple : une suite de Cauchy possède désormais une limite, mais un polynôme peut encore ne pas avoir de racine dans le corps complet. Il faut alors considérer la clôture algébrique.
Une clôture algébrique n’est pas la complétion. Ajouter des éléments algébriques ne suffit pas à conclure que toutes les suites de Cauchy convergent. Il faut vérifier séparément la complétude du corps considéré.
Pour aller plus loin
La fiche valuation précise l’outil qui attribue une taille aux éléments d’un corps et fait naître la distance utilisée dans la complétion.
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