ArithmétiqueNotion · Glossaire
Ultramétrique (distance)
Une distance ultramétrique est une distance satisfaisant une inégalité triangulaire renforcée : la distance entre deux points est au plus le maximum des distances entre ces points et un troisième point intermédiaire. Dans un espace ultramétrique, toute boule ouverte est également fermée et deux boules sont soit disjointes soit l'une incluse dans l'autre. Les espaces ultramétriques interviennent en théorie des nombres p-adiques et en informatique théorique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler l'inégalité ultramétrique avec des notations introduites.
- Vérifier le critère sur un exemple à trois points.
- Relier l'inégalité aux boules emboîtées ou disjointes.
- Distinguer une ultramétrique d'une distance euclidienne ordinaire.
En clair
Prenons trois points A, B et C. A est à distance 1 de B, tandis que C est à distance 2 de chacun des deux autres points. Le point C ne peut donc pas créer un long détour entre A et B : parmi les trois distances, la plus grande apparaît au moins deux fois.
Cette organisation en groupes emboîtés caractérise l'intuition ultramétrique. Deux points proches forment un premier groupe, puis un point plus éloigné rejoint ce groupe à un niveau supérieur.
Définition
Une distance ultramétrique est une distance, notée d, définie entre les éléments d'un ensemble X. Elle possède donc les propriétés d'une distance : elle est positive ou nulle, symétrique, et elle vaut zéro exactement lorsque les deux éléments coïncident.
À ces propriétés s'ajoute une condition plus exigeante que l'inégalité triangulaire ordinaire. Pour tous les éléments x, y et z de X, la distance de x à z vérifie . Ainsi, dans tout triangle de distances, une longueur ne dépasse jamais la plus grande des deux autres. En particulier, la plus grande distance ne peut pas être unique.
Pour un centre a et un rayon positif r, la boule ouverte est l'ensemble . Dans un espace ultramétrique, cette boule est aussi un ensemble fermé. De plus, deux boules qui ont un point commun sont nécessairement emboîtées : l'une contient l'autre. Ces propriétés expliquent la structure fortement hiérarchique de ces espaces.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble formé des trois points A, B et C. Nous voulons vérifier que les distances annoncées définissent bien une distance ultramétrique.
Données.
La distance de A à B vaut 1.
La distance de A à C vaut 2.
La distance de B à C vaut 2.
La distance d'un point à lui-même vaut 0, et les distances sont symétriques.
La distance de A à B vaut 1.
La distance de A à C vaut 2.
La distance de B à C vaut 2.
La distance d'un point à lui-même vaut 0, et les distances sont symétriques.
1. Pour le trajet de A à C en passant par B, on compare 2 au maximum de 1 et 2. Le contrôle donne .
2. Pour le trajet de B à C en passant par A, le même calcul donne . Pour le trajet de A à B en passant par C, on obtient .
3. Les trois contrôles possibles sont satisfaits. Les cas où deux points coïncident le sont aussi, car une distance nulle ne change pas le maximum. L'ensemble est donc ultramétrique. Un arbre de regroupement traduit exactement le rapprochement de A et B au niveau 1, puis leur réunion avec C au niveau 2.
Le contrôle est refaisable directement : il suffit de trier les trois distances, ce qui donne 1, 2 et 2. La valeur maximale 2 apparaît deux fois, comme l'impose l'inégalité renforcée.
En pratique
En théorie des nombres p-adiques, on rencontre des distances ultramétriques. Le bon geste consiste à vérifier l'inégalité renforcée avant d'utiliser l'emboîtement des boules. Si seule l'inégalité triangulaire ordinaire est établie, il faut rester dans le cadre général des espaces métriques.
En informatique théorique, une distance peut être testée pour savoir si elle organise les objets par niveaux emboîtés. Le critère observable est le même : sur chaque triplet, la plus grande des trois distances doit apparaître au moins deux fois. Si un triplet possède une unique distance maximale, cette distance n'est pas ultramétrique.
À ne pas confondre
Distance euclidienne. Toute distance ultramétrique est une distance, mais toute distance ordinaire n'est pas ultramétrique. Sur la droite réelle, les points 0, 1 et 2 ont pour distances 1, 1 et 2. L'inégalité ultramétrique échoue, car .
Distance p-adique. Une distance p-adique est un cadre important où apparaît l'ultramétrie, mais les deux expressions ne sont pas synonymes. Le triplet abstrait de distances 1, 2 et 2 fournit déjà une ultramétrique sans définir de nombres p-adiques.
Limites et pièges
Une seule distance maximale. Si un triplet présente les distances 1, 2 et 3, le côté de longueur 3 dépasse le maximum des deux autres, qui vaut 2. La distance peut encore satisfaire l'inégalité triangulaire ordinaire, mais elle n'est pas ultramétrique.
Triangle dessiné trompeur. Les valeurs 1, 2 et 2 peuvent être représentées par un triangle euclidien, mais la longueur des traits d'un schéma n'est pas la distance ultramétrique. Il faut contrôler les valeurs de d, et non mesurer le dessin.
Boule ouverte et fermée. Dire qu'une boule ouverte est aussi fermée ne signifie pas que tout sous-ensemble de l'espace possède ces deux propriétés. Cette conclusion concerne les boules ultramétriques ; pour un autre ensemble, il faut examiner séparément son ouverture et sa fermeture.
Pour aller plus loin
L'étape suivante consiste à étudier comment l'inégalité renforcée produit des familles de boules emboîtées, puis à observer cette organisation dans les nombres p-adiques et en informatique théorique. Le passage d'un simple triplet à un espace entier conserve la même question directrice : quels groupes se forment à chaque niveau de distance ?
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