ArithmétiqueNotion · Glossaire
Dyadiques (nombres)
Les rationnels dyadiques sont les nombres rationnels dont le dénominateur (sous forme irréductible) est une puissance de 2. Ils forment un sous-anneau dense de la droite réelle. Les intervalles dyadiques sont les intervalles de la forme [k/2^n, (k+1)/2^n] pour des entiers k et n, et servent de base à la construction de nombreuses structures fractales et à la théorie des ondelettes. Les nombres dyadiques jouent un rôle particulier dans la construction des nombres réels par complétion.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un rationnel dyadique après réduction de la fraction.
- Relier 3/8 à son écriture binaire finie.
- Construire et lire un intervalle dyadique de niveau donné.
- Identifier les cas limites portant sur les entiers, les doubles écritures binaires et les extrémités d’intervalles.
En clair
Coupez une unité en deux, puis chaque morceau encore en deux. Les repères obtenus sont 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8… Tous sont des nombres dyadiques : leur dénominateur, une fois la fraction simplifiée, vaut 1, 2, 4, 8, 16 ou une autre puissance de 2.
En poursuivant les découpes, le pas devient aussi petit que souhaité. Ces repères finissent donc par passer entre n’importe quels nombres réels distincts, même si tous les nombres réels ne sont pas dyadiques.
Définition
Un rationnel dyadique est un nombre rationnel qui peut s’écrire comme le quotient d’un entier relatif p par une puissance de 2. Si n désigne un entier naturel, le critère s’écrit . Sous forme irréductible, son dénominateur est donc une puissance de 2, y compris 20 = 1 pour les entiers.
Ces nombres admettent un développement binaire fini. Par exemple, 3/8 s’écrit 0,011 en base 2. Ils sont stables par addition, soustraction et multiplication, et contiennent 0 et 1 : ils forment ainsi un sous-anneau des rationnels. Ils ne forment pas un corps, car l’inverse de 3, qui vaut 1/3, n’est pas dyadique.
Pour un entier k et un entier naturel n, l’intervalle dyadique fermé de niveau n est . Sa longueur est 1/2n. Les niveaux successifs partagent la droite en mailles deux fois plus fines. Cette finesse arbitraire rend les rationnels dyadiques denses dans la droite réelle et fournit des partitions emboîtées utiles aux fractales, aux ondelettes et à la construction des réels par complétion.
Un exemple, pas à pas
On veut vérifier que 3/8 est dyadique et le situer dans les découpes de l’unité. Les données sont le numérateur 3, le dénominateur 8 et l’unité [0, 1].
1. La fraction 3/8 est déjà irréductible, car 3 et 8 n’ont pas de diviseur commun supérieur à 1.
2. Son dénominateur vaut 8 = 23. Le critère est satisfait avec p = 3 et n = 3.
3. En base 2, les positions après la virgule valent 1/2, 1/4 et 1/8. Ainsi, 0,0112 = 0/2 + 1/4 + 1/8 = 3/8.
4. Au niveau 3, le nombre est l’extrémité gauche de l’intervalle [3/8, 4/8], soit [3/8, 1/2], de longueur 1/8.
Le résultat est exact : 3/8 est un rationnel dyadique. Le contrôle se refait en multipliant 3/8 par 8 : on obtient l’entier 3. La figure montre aussi l’emboîtement [0, 1] ⊃ [1/4, 1/2] ⊃ [3/8, 1/2].
En pratique
En calcul binaire, une valeur dyadique comme 3/8 possède une écriture finie, 0,0112. Elle peut donc être représentée exactement avec un nombre fini de chiffres binaires. Pour 1/3, dont l’écriture binaire ne s’arrête pas, il faut accepter une approximation ou conserver la fraction exacte.
Pour approcher une position réelle, on choisit un niveau n, donc un pas 1/2n. On augmente n lorsque la maille est trop large pour la précision recherchée ; une subdivision décimale reste préférable si le problème impose des pas en puissances de 10.
Dans les ondelettes et certaines constructions fractales, les intervalles dyadiques organisent des échelles emboîtées. On passe d’un intervalle à ses deux moitiés pour analyser ou construire l’objet à une résolution plus fine. Une autre partition convient mieux si les subdivisions requises ne se font pas par moitiés successives.
À ne pas confondre
Rationnel dyadique et rationnel quelconque. Le test porte sur le dénominateur après simplification. Ainsi, 3/8 est dyadique, tandis que 1/3 est rationnel sans être dyadique, car 3 n’est pas une puissance de 2.
Nombre dyadique et intervalle dyadique. Le premier est un point de la droite ; le second est une portion comprise entre deux points dyadiques consécutifs d’un même niveau. Par exemple, 3/8 est un nombre, alors que [3/8, 1/2] est un intervalle de longueur 1/8.
Limites et pièges
Un dénominateur non simplifié peut tromper. Dans 6/16, le dénominateur est bien une puissance de 2, mais le test doit porter sur la forme irréductible 3/8. Inversement, 3/6 se réduit à 1/2 et est donc dyadique malgré le dénominateur initial 6.
Les entiers ne sont pas exclus. Le dénominateur irréductible d’un entier est 1, et 1 = 20. Ainsi, 0, 3 ou −5 sont aussi des rationnels dyadiques.
L’écriture binaire n’est pas toujours unique. Le nombre 3/8 a l’écriture finie 0,0112, mais aussi 0,010111…2, dont tous les chiffres suivants sont égaux à 1. Pour reconnaître un dyadique, on retient l’existence d’une écriture finie, pas son unicité.
Les intervalles fermés se touchent. Au niveau 3, le point 3/8 appartient à [2/8, 3/8] et à [3/8, 4/8]. Si chaque point doit appartenir à une seule maille, on emploie plutôt des intervalles semi-ouverts, par exemple [2/8, 3/8[ et [3/8, 4/8[.
Pour aller plus loin
Rationnels — Pour replacer les dyadiques dans l’ensemble des quotients d’entiers et comparer leurs dénominateurs irréductibles.
ondelette — Pour prolonger l’idée d’une analyse organisée par échelles et intervalles emboîtés.
Ondelettes et compression de fichiers — Pour voir une application des ondelettes dans le traitement et la compression de données.
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