fonction de Thomae

Prenons une fraction et réduisons-la. Pour 4/6, la forme irréductible est 2/3 : la fonction de Thomae ne garde que le dénominateur 3 et donne la hauteur 1/3. Un rationnel au petit dénominateur produit donc un pic assez haut ; un grand dénominateur produit un pic bas.

Tous les irrationnels, comme √2, restent à hauteur 0. Le dessin évoque ainsi du maïs soufflé : une infinité de pointes rationnelles se détachent d'une ligne d'irrationnels, tout en devenant de plus en plus petites lorsque les dénominateurs augmentent.

La fonction de Thomae est une fonction réelle T définie sur tous les nombres réels. Pour un nombre réel x irrationnel, sa valeur est nulle. Au point x = 0, la convention donnée ici fixe T(0) = 1. Pour un rationnel non nul x, on écrit d'abord x sous sa forme irréductible m/n, où m est un entier et n un entier naturel strictement positif, puis on prend l'inverse du dénominateur : $T(x)=\frac{1}{n}T(x)=\backslash frac\{1\}\{n\}$. La réduction est indispensable : 4/6 devient 2/3, donc T(4/6) = 1/3 et non 1/6.

Cette règle, aussi appelée fonction règle ou fonction des popcorns, associe donc une valeur positive à chaque rationnel et 0 à chaque irrationnel. Elle est continue en tout point irrationnel, mais discontinue en tout point rationnel. Les rationnels sont denses dans ℝ, si bien que ses points de discontinuité sont denses ; cet ensemble est néanmoins de mesure de Lebesgue nulle. Sur tout intervalle fermé et borné, la fonction est intégrable au sens de Riemann. Elle se distingue ainsi de la fonction de Dirichlet.

Carl Johannes Thomae (1840–1921) a défini cette fonction en 1875. Elle sert d'exemple pour séparer trois idées que l'intuition confond parfois : avoir beaucoup de discontinuités, avoir des discontinuités partout et rester intégrable.

La construction repose sur quatre éléments. Le domaine est ℝ, donc chaque réel doit recevoir une valeur. La séparation entre rationnels et irrationnels choisit la branche de la règle. Pour un rationnel non nul, la fraction irréductible m/n fournit le dénominateur positif n ; ce dénominateur, et non le numérateur m, détermine la hauteur 1/n. Enfin, le point 0 reçoit séparément la valeur 1 dans la convention de cette fiche.

La forme irréductible rend la valeur unique : toutes les écritures d'un même rationnel se réduisent au même couple m et n, avec n positif. Changer le numérateur en gardant le même dénominateur réduit déplace un pic sans changer sa hauteur. Changer le dénominateur réduit change cette hauteur. Ces données suffisent à calculer T(x) pour tout réel dont on connaît la nature rationnelle ou irrationnelle.

On veut calculer la fonction de Thomae en x = 4/6, puis contrôler la règle sur deux cas voisins.
Données : x = 4/6 est rationnel et non nul ; 4 et 6 ont pour diviseur commun 2 ; √2 est irrationnel ; le point 0 suit une branche séparée.

1. Réduire 4/6 en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : 4/6 = 2/3.
2. Lire le dénominateur positif de la forme irréductible : n = 3.
3. Appliquer la règle des rationnels non nuls : T(4/6) = 1/3.
4. Contrôler les autres branches : T(√2) = 0 et T(0) = 1.

Le résultat exact est donc 1/3. Pour refaire le contrôle, une autre écriture du même nombre, 6/9, se réduit elle aussi à 2/3 et donne encore 1/3. La représentation des rationnels de dénominateur réduit au plus égal à 5 montre que les points partageant un dénominateur partagent une hauteur.

Pour calculer une valeur rationnelle, il faut commencer par réduire la fraction. Une lecture directe du dénominateur écrit peut être fausse : pour 4/6, le bon choix est 3, pas 6. Si le nombre est irrationnel, la valeur est directement 0.

Pour tester une intuition sur la continuité, on compare la nature du point étudié. À un irrationnel, les pics rationnels proches deviennent assez bas pour préserver la continuité. À un rationnel, la valeur positive du point contraste avec les irrationnels voisins, tous placés à 0.

Pour étudier l'intégrabilité sur un intervalle fermé et borné, la fonction de Thomae est préférable à la fonction de Dirichlet lorsque l'on veut un exemple discontinu sur un ensemble dense mais néanmoins intégrable au sens de Riemann. Le critère décisif est que les discontinuités rationnelles forment un ensemble de mesure nulle.

Fonction de Thomae et fonction de Dirichlet. Les deux distinguent rationnels et irrationnels, mais le test porte sur les valeurs rationnelles. Celles de Thomae valent 1/n et diminuent avec le dénominateur réduit ; celles de Dirichlet ne s'atténuent pas. La première est continue aux irrationnels et intégrable sur tout intervalle fermé et borné, contrairement à la seconde.

Une fraction non réduite donne un faux résultat. Lire 6 dans 4/6 conduirait à 1/6. Il faut d'abord écrire 2/3, puis retenir T(4/6) = 1/3.

Le point 0 est un cas séparé. Dans la convention de la définition source, T(0) = 1. Il ne faut ni appliquer la branche irrationnelle, ni chercher arbitrairement une écriture 0/n pour choisir une autre valeur.

Dense ne signifie pas partout. Tout intervalle contient des rationnels, donc des points de discontinuité, mais chaque irrationnel reste un point de continuité. Le symptôme trompeur est de conclure « discontinue partout » à partir de la seule densité des rationnels.

L'intégrale de Riemann demande un intervalle borné. L'affirmation d'intégrabilité se lit sur un intervalle fermé et borné, pas comme une intégrale propre sur ℝ tout entier. Sur un tel intervalle, l'ensemble dense des discontinuités reste de mesure nulle.

fonction de Dirichlet. Cette comparaison isole le rôle de l'atténuation 1/n dans la continuité aux irrationnels et l'intégrabilité de Riemann.