fonction de Dirichlet

Prenons une droite graduée et colorons chaque nombre rationnel en rouge, tous les autres en noir. Même en grossissant autour d’un point, les deux couleurs resteraient présentes : il y a toujours des rationnels et des irrationnels aussi près que l’on veut.

La fonction de Dirichlet transforme cette alternance invisible en deux hauteurs : 1 pour un rationnel, 0 pour un irrationnel. À l’approche de n’importe quel réel, ses valeurs continuent donc d’osciller entre 0 et 1. Voilà pourquoi elle n’est continue nulle part.

La fonction de Dirichlet classique, notée ici f, est définie sur l’ensemble ℝ des nombres réels. L’ensemble ℚ rassemble les nombres rationnels, c’est-à-dire les quotients de deux entiers dont le dénominateur est non nul. Les réels qui n’appartiennent pas à ℚ sont irrationnels.

Tout intervalle autour d’un réel contient des éléments de ℚ et de ℝ∖ℚ. La valeur de f ne peut donc tendre vers une seule valeur près de ce réel : f est discontinue en tout point. Sur un intervalle non réduit à un point, ses sommes inférieures de Riemann valent 0 tandis que ses sommes supérieures valent la longueur de l’intervalle ; elle n’y est pas intégrable au sens de Riemann. Au sens de Lebesgue, ℚ est de mesure nulle, donc l’intégrale de f vaut 0 sur tout intervalle.

Quatre éléments suffisent à construire la fonction. Son domaine est ℝ. Ce domaine est partagé entre ℚ et son complémentaire ℝ∖ℚ : chaque réel appartient exactement à l’une de ces deux parties. L’ensemble des valeurs possibles est {0, 1}. Enfin, la règle associe 1 à la partie rationnelle et 0 à la partie irrationnelle.

La partition du domaine détermine donc entièrement la valeur de la fonction. La présence des deux parties dans chaque intervalle détermine, elle, son comportement local : aucune réduction d’échelle ne sépare durablement les deux niveaux. Un tracé ne définit pas l’objet ; il ne peut montrer qu’un échantillon des points situés aux hauteurs 0 et 1.

Étudions la continuité au réel 1/2. Pour chaque entier n au moins égal à 2, prenons le rationnel $q_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{n}q\_n=\backslash frac12+\backslash frac1n$ et l’irrationnel $r_n=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{n}r\_n=\backslash frac12+\backslash frac\{\backslash sqrt2\}\{n\}$.

1. Quand n grandit, 1/n et √2/n tendent vers 0. Les deux suites q_n et r_n tendent donc vers 1/2.

2. Chaque q_n est rationnel, donc f(q_n) = 1. Chaque r_n est irrationnel, car il est la somme d’un rationnel et d’un irrationnel ; ainsi f(r_n) = 0.

3. Les entrées des deux suites approchent le même point, mais leurs images gardent deux valeurs différentes. La limite de f en 1/2 n’existe donc pas, et f n’y est pas continue. Le contrôle se refait en remplaçant 1/2 par n’importe quel réel : rationnels et irrationnels restent présents aussi près que l’on veut.

En analyse, cette fonction sert de test immédiat pour une intuition trop liée au dessin. Si un raisonnement suppose qu’une fonction bornée possède forcément une courbe continue ou une intégrale de Riemann, elle fournit un contre-exemple.

Pour examiner la continuité en un point, on cherche deux façons de s’en approcher. Ici, une suite rationnelle donne toujours la valeur 1 et une suite irrationnelle toujours la valeur 0. Deux limites d’images incompatibles suffisent à écarter la continuité.

Pour l’intégration, le critère observable change avec la théorie choisie. Les oscillations présentes dans chaque sous-intervalle bloquent l’intégrale de Riemann, tandis que la mesure nulle de ℚ conduit l’intégrale de Lebesgue à 0.

Fonction de Dirichlet classique et fonction êta de Dirichlet. La première prend comme entrée un réel et ne renvoie que 0 ou 1 selon sa rationalité. La seconde, notée η, est reliée à la fonction zêta de Riemann par $\eta (z)=(1-2^{1-z})\zeta (z)\backslash eta(z)=(1-2^\{1-z\})\backslash ,\backslash zeta(z)$. Cette formule définit la fonction êta, qui est distincte de l’indicatrice des rationnels.

Fonction et série de Dirichlet. La fonction classique est donnée par l’appartenance à ℚ. Une série de Dirichlet est une construction liée notamment aux fonctions êta et zêta. La présence d’une somme en puissances d’entiers signale cette autre famille, et non la règle 0 ou 1.

Intégrabilité de Riemann et intégrabilité de Lebesgue. Elles ne posent pas le même verdict ici. Sur un intervalle non réduit à un point, la fonction échoue au sens de Riemann, mais son intégrale de Lebesgue existe et vaut 0.

Un dessin ne montre pas la fonction entière. Un écran n’affiche qu’un nombre fini de points, alors que chaque intervalle contient rationnels et irrationnels. Il faut lire tout tracé comme un échantillon et revenir à la règle d’appartenance à ℚ.

L’intervalle réduit à un point est un cas charnière. L’échec de l’intégrale de Riemann concerne les intervalles de longueur strictement positive. Sur un intervalle réduit à un point, les intégrales de Riemann et de Lebesgue valent toutes deux 0.

La valeur au point ne répare pas la limite. Au point rationnel 1/2, la fonction vaut bien 1, mais des irrationnels arbitrairement proches ont pour image 0. Pour tester la continuité, il faut considérer toutes les approches du point, pas seulement sa valeur.

Une intégrale nulle ne signifie pas une fonction identiquement nulle. La fonction vaut 1 sur tous les rationnels. Son intégrale de Lebesgue reste nulle parce que cet ensemble est de mesure nulle ; il faut distinguer valeur ponctuelle et contribution mesurée.

L’intégrale de Lebesgue précise pourquoi un ensemble dense peut ne contribuer aucune aire lorsque sa mesure est nulle.

La fonction zêta de Riemann éclaire la relation qui définit la fonction êta de Dirichlet mentionnée dans cette fiche.

L’article L'inépuisable théorème des nombres premiers prolonge le lien annoncé entre les fonctions de Dirichlet et la répartition des nombres premiers.