AnalyseThéorème · Glossaire
Prolongement des applications uniformément continues (théorème de)
Le théorème de prolongement des applications uniformément continues affirme que si f est une application uniformément continue d'un sous-espace dense A d'un espace métrique X vers un espace métrique complet Y, alors f se prolonge de façon unique en une application uniformément continue de X dans Y. Ce théorème est fondamental en analyse fonctionnelle et justifie notamment la construction de l'intégrale de Lebesgue par extension à partir des fonctions étagées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les trois hypothèses nécessaires au théorème.
- Construire la valeur prolongée par la limite d’images d’une suite.
- Refaire l’exemple du prolongement de q ↦ 3q − 1 en √2.
- Repérer ce qui échoue sans densité, complétude ou continuité uniforme.
En clair
Imaginez une règle de calcul connue seulement sur les nombres rationnels, pourtant présents aussi près que l’on veut de chaque nombre réel. Si cette règle envoie des entrées proches vers des sorties proches avec une précision valable partout, ses valeurs manquantes sont déjà imposées.
Pour obtenir la valeur en un réel absent, on l’approche par des rationnels et on regarde la limite des résultats. La complétude de l’espace d’arrivée garantit que cette limite existe dans cet espace. La densité garantit que chaque point peut être ainsi approché.
Définition
Soit X un espace métrique et soit A une partie dense de X, c’est-à-dire que tout point de X est limite d’une suite de points de A. Soit Y un espace métrique complet : toute suite de Cauchy de Y y possède une limite. Enfin, soit f une application de A dans Y, uniformément continue. Cette dernière propriété impose un même contrôle de proximité sur tout A, et non un contrôle dépendant du point choisi.
Pour un point x de X, choisissons une suite de points an de A qui converge vers x. La suite f(an) est de Cauchy grâce à la continuité uniforme ; la complétude de Y lui donne donc une limite. Le prolongement, noté F, est défini par . La continuité uniforme assure aussi que cette valeur ne dépend pas de la suite choisie.
L’application F est uniformément continue sur X et coïncide avec f sur A. Elle est unique : deux prolongements continus qui coïncident sur la partie dense A coïncident en tout point de X. Le résultat porte donc à la fois sur l’existence, l’unicité et la conservation de la continuité uniforme.
Le principe
Si A est dense dans un espace métrique X, si Y est un espace métrique complet et si l’application f de A dans Y est uniformément continue, alors il existe une unique application F de X dans Y, uniformément continue, dont la restriction à A est f.
Autrement dit, . Pour calculer F en un point x de X, on approche x par une suite de points de A, puis on prend dans Y la limite de leurs images par f.
Quand l'utiliser
Trois contrôles sont nécessaires. Premièrement, le domaine connu A doit être dense dans l’espace métrique X : chaque point à compléter doit être approchable depuis A. Deuxièmement, l’espace métrique d’arrivée Y doit être complet, afin que les suites d’images de Cauchy aient une limite dans Y. Troisièmement, f doit être uniformément continue sur tout A, avec un contrôle commun à tous ses points.
Si Y n’est pas complet, la limite peut sortir de Y. Par exemple, l’identité des rationnels dans les rationnels est uniformément continue, mais elle n’admet aucun prolongement continu des rationnels aux réels avec des valeurs toujours rationnelles. Il faut alors remplacer Y par un espace complet approprié, ou vérifier séparément que chaque limite reste dans Y.
Un exemple, pas à pas
On connaît une application f sur l’ensemble A des rationnels, dense dans l’espace X des réels. L’espace d’arrivée Y est ℝ, donc complet. Pour tout rationnel q, on pose . L’application est uniformément continue : elle multiplie exactement par 3 l’écart entre deux nombres.
Les données sont : A = ℚ, X = ℝ, Y = ℝ et le point visé x = √2. Pour chaque entier n au moins égal à 1, le rationnel qn est la troncature de √2 à n décimales : . Les premiers termes sont 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142.
1. La suite de rationnels choisie converge vers √2.
2. On applique f à chaque terme : 3,2 ; 3,23 ; 3,242 ; 3,2426 ; …
3. Cette suite d’images converge dans ℝ, et sa limite vaut , soit environ 3,24264.
4. Le prolongement est donc pour tout réel x, en particulier .
Les deux suites convergentes rendent visible le même mécanisme : chaque rationnel qui approche √2 possède une image qui approche la valeur imposée du prolongement.
Le contrôle se refait avec une autre suite rationnelle convergeant vers √2 : l’écart entre deux images vaut trois fois l’écart entre leurs antécédents, donc la limite obtenue reste la même.
En pratique
Lorsqu’une formule est d’abord définie sur un ensemble dense plus maniable, on vérifie une estimation uniforme des écarts. Si elle existe et si l’arrivée est complète, le théorème fournit toutes les valeurs manquantes et prouve qu’aucun autre prolongement uniformément continu n’est possible.
Pour construire l’intégrale de Lebesgue à partir des fonctions étagées, on commence sur cette classe simple, puis on étend l’application vers l’espace complet visé. Cette voie est préférable à une définition arbitraire point par point lorsque l’estimation uniforme requise est disponible.
Si l’application n’est que continue, le théorème ne s’applique pas automatiquement. Il faut alors étudier les limites au voisinage de chaque point manquant et vérifier séparément leur existence ainsi que leur compatibilité.
À ne pas confondre
Continuité et continuité uniforme. La continuité autorise un réglage de précision différent autour de chaque point ; la continuité uniforme impose un réglage valable partout. Sur l’intervalle ]0, 1], la fonction qui associe 1/x à x est continue, mais ses valeurs divergent lorsque x tend vers 0 : elle ne fournit pas le prolongement recherché sur [0, 1].
Prolonger une application et compléter un espace. Ici, les nouveaux objets sont les valeurs de F aux points de X qui ne sont pas dans A. Compléter un espace consiste au contraire à ajouter des points à un espace métrique incomplet. Le critère est donc simple : demande-t-on de nouvelles valeurs d’une application, ou de nouveaux points dans un espace ?
Limites et pièges
Arrivée incomplète. L’identité de ℚ dans ℚ envoie une suite rationnelle approchant √2 vers une suite sans limite dans ℚ. Le symptôme est une limite attendue hors de l’espace d’arrivée ; il faut compléter cet espace ou démontrer que les limites utiles lui appartiennent.
Domaine non dense. Si A se réduit au point 0 dans ℝ et si f(0) = 0, les applications F(x) = 0 et G(x) = x sont deux prolongements uniformément continus sur ℝ. L’unicité disparaît parce que les valeurs hors de l’adhérence de A ne sont pas imposées ; il faut prolonger seulement à cette adhérence ou ajouter des conditions.
Continuité seulement locale. Sur A = ]0, 1] dense dans X = [0, 1], la fonction f(x) = 1/x est continue mais pas uniformément continue. Ses valeurs deviennent non bornées près de 0, donc aucune valeur réelle ne peut rendre le prolongement continu en 0. Il faut contrôler directement les limites ou renforcer l’hypothèse.
Pour aller plus loin
La continuité uniforme précise le contrôle global qui transforme toute suite de Cauchy du domaine en suite de Cauchy d’images.
L’intégrale de Lebesgue montre comment une application construite sur des fonctions étagées peut être étendue vers un cadre complet.
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