Per parlare di divisibilità, è indispensabile considerare un insieme, quello dei numeri su cui si opera, dotato di due operazioni, l’addizione e la moltiplicazione. Tuttavia, se si vogliono evitare certe insidie, questo non basta (vedi FOCUS). Vediamo un esempio ben noto, che coinvolge i numeri decimali. Tra i numeri reali, sono quelli che possiedono uno sviluppo decimale finito. Per esempio, 1/5 = 0,2 è un numero decimale. Al contrario, 1/3 = 0,333… non è, in questo senso, un numero decimale. Tutti possono essere espressi sotto forma di frazione: se un tale numero u ha un numero finito n di cifre decimali, moltiplicandolo per 10n si ottiene un intero a e quindi u = a / 10n ; viceversa, ogni numero di questa forma è decimale. Ma non tutte le frazioni sono necessariamente numeri decimali (si pensi a 1/3).
Numeri invertibili… oppure no
Nell’insieme D dei numeri decimali si può definire la nozione di divisibilità come si fa abitualmente per gli interi, dicendo che il numero decimale a divide il numero decimale b se esiste un numero decimale c tale che b = a × c. Poiché gli interi sono numeri decimali, ne segue che, per due interi a e b, se a divide b nel senso consueto, questa proprietà resta vera anche nell’universo dei numeri decimali. Tuttavia, il viceversa è falso: 2 divide 3 (poiché 3 = 2 × 1,5), oppure 60 divide 9 (poiché 9 = 60 × 0,15).
Nell’insieme degli interi, soltanto 1 e – 1 sono invertibili. Per ogni altro intero non nullo n, la frazione 1 / n non definisce un intero. Al contrario, in D un’infinità di elementi possiede questa proprietà. Per esempio, tutti i numeri della forma ± 2n5p, dove n e p indicano interi, sono invertibili; sono peraltro gli unici se n e p variano in . Due numeri decimali a e b si diranno associati se esiste un decimale invertibile u tale che a = b × u. L’interesse di questa definizione è che due numeri associati svolgono esattamente lo stesso ruolo rispetto alla divisibilità; in particolare, possiedono gli stessi divisori.
