Quand 60 divise 9

Pour parler de divisibilité, il est indispensable de considérer un ensemble, celui des nombres sur lesquels on travaille, muni de deux opérations, l’addition et la multiplication. Ce n’est cependant pas suffisant si l’on veut éviter certains pièges (voir FOCUS). Voyons un exemple bien connu, qui fait intervenir les nombres décimaux. Parmi les nombres réels, ce sont ceux qui possèdent un développement décimal fini. Ainsi 1/5 = 0,2 en est un. Par contre, 1/3 = 0,333… n’est pas en ce sens un nombre décimal. Ils peuvent tous s’exprimer sous forme de fraction : si un tel nombre u s’exprime avec un nombre fini n de décimales, en le multipliant par 10ⁿ, on obtient un entier a et donc u = a / 10ⁿ ; inversement, tout nombre de cette forme est décimal. Mais toute fraction n’est pas forcément un nombre décimal (pensez à 1/3).

On peut définir dans l’ensemble D des nombres décimaux la notion de divisibilité comme on le fait habituellement pour les entiers, en disant que le nombre décimal a divise le nombre décimal b s’il existe un nombre décimal c tel que b = a × c. Les entiers étant des nombres décimaux, on en déduit que, pour deux entiers a et b, si a divise b au sens habituel, cette propriété est encore vraie dans l’univers des nombres décimaux. Cependant, la réciproque est fausse : 2 divise 3 (puisque 3 = 2 × 1,5), ou encore 60 divise 9 (puisque 9 = 60 × 0,15).

Dans l’ensemble $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ des entiers relatifs, seuls 1 et – 1 sont inversibles. Pour tout autre entier non nul n, la fraction 1 / n ne définit pas un entier. Au contraire, dans D, une infinité d’éléments possèdent cette propriété. Par exemple, tous les nombres de la forme ± 2ⁿ5^p, où n et p désignent des entiers, sont inversibles ; ce sont d’ailleurs les seuls si l’on fait varier n et p dans $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ . Deux décimaux a et b seront dits associés s’il existe un décimal u inversible tel que a = b × u. L’intérêt de cette définition est que deux nombres associés jouent exactement le même rôle vis-à-vis de la notion de divisibilité ; en particulier, ils possèdent les mêmes diviseurs.