¿Criterio o carácter? ----------------------
En la literatura matemática se encuentran las dos expresiones: «criterio de divisibilidad» y «carácter de divisibilidad». La segunda parece más antigua; aparece, por ejemplo, en los escritos de Blaise Pascal. Deriva del significado de la palabra «carácter» como «lo que caracteriza».
La primera se utiliza más hoy en día, pues la palabra «criterio» designa un método que permite saber si una propiedad se cumple o no. En ambos casos nos referimos, efectivamente, a las pruebas de divisibilidad que probablemente aprendiste en la escuela, ¡al menos algunas de ellas!
Divisibilidad por 2, por 4, por 8, por 16… -----------------------------------------
El más sencillo de los criterios de divisibilidad es, sin duda, el de la divisibilidad por 2:
«Un número es divisible por 2 si y solo si su cifra de las unidades es par.»
Este criterio se generaliza a las potencias de 2:
*«Un número es divisible por 2n si y solo si el número formado por sus n últimas cifras es divisible por 2n.»*
Así, 2016 es divisible por 4 porque 16 es divisible por 4 (así se reconocen los números de los años bisiestos que no son múltiplos de 100). También es múltiplo de 8 porque el número formado por sus tres últimas cifras (016) es divisible por 8. El número 2016 también es divisible por 16 y por 32, pero para estos valores usar el criterio equivale a efectuar directamente la división, pues el número de cifras no basta para ahorrar tiempo de cálculo.
Divisibilidad por 3, por 9… --------------------------
El criterio de divisibilidad por 3 es uno de los más conocidos:
«Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus cifras es divisible por 3.»
Este criterio es consecuencia de que, para todo número entero n, 10n es siempre congruente con 1 módulo 3 o, dicho más sencillamente, de que el resto de dividir 10*n* entre 3 siempre es igual a 1 (los números 9, 99, 999, 9 999… son todos divisibles por 3).
Existe un criterio análogo para la divisibilidad por 9:
«Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus cifras es divisible por 9.»
Este criterio de divisibilidad da origen a la célebre «prueba del nueve», que, pese a lo que su nombre sugiere, nunca constituye una prueba de la corrección (o exactitud) de un cálculo. Es posible generalizar estos criterios a la divisibilidad por 27, 81…
Así, para comprobar si un número es divisible por 27, se divide en «bloques» de tres cifras, se suman esos bloques y se comprueba si el resultado es o no divisible por 27.
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Divisibilidad por 11, por 5, por 25… -----------------------------------
Lo recuerdas:
«Un número es divisible por 5 si y solo si su cifra de las unidades es 0 o 5.»
También aquí podemos generalizar este criterio para comprobar la divisibilidad por 5n (con n > 1):
*«Un número es divisible por 5n si y solo si el número formado por sus n últimas cifras es divisible por 5n.»*
Esto se debe, por supuesto, a que 10n es múltiplo de 5*n pero no es múltiplo de 5n*+1.
El criterio de divisibilidad por 11 quizá sea menos conocido, pero resulta relativamente fácil de usar:
«Un número es divisible por 11 si y solo si la diferencia entre la suma de sus cifras de posición impar y la suma de sus cifras de posición par es divisible por 11.»
Veamos dos ejemplos:
Para 2016, (0 + 6) – (2 + 1) = 3. De ello se deduce que 2016 no es divisible por 11 (incluso puede deducirse que el resto de dividir 2016 entre 11 es igual a 3).
Para 1 234 554 321, (2 + 4 + 5 + 3 + 1) – (1 + 3 + 5 + 4 + 2) = 15 – 15 = 0. Por tanto, este número es divisible por 11.
El principio de este criterio se basa en que, si n es impar, 10n es congruente con – 1 módulo 11 y en que, si n es par, 10n es congruente con 1 módulo 11.