Criteri di divisibilità: storia e metodi | Tangente

Criterio o carattere? ----------------------

Nella letteratura matematica si trovano entrambe le espressioni: «criterio di divisibilità» e «carattere di divisibilità». La seconda sembra più antica; la si trova, per esempio, negli scritti di Blaise Pascal. Deriva dal significato della parola «carattere» intesa come «ciò che caratterizza».

La prima è oggi più usata, poiché la parola «criterio» corrisponde a un metodo che permette di stabilire se una proprietà sia verificata oppure no. In entrambi i casi ci si riferisce proprio ai test di divisibilità che avete probabilmente imparato a scuola, almeno per alcuni di essi!

Divisibilità per 2, per 4, per 8, per 16… -----------------------------------------

Il più semplice dei criteri di divisibilità è senza dubbio quello della divisibilità per 2:

Questo criterio si generalizza alle potenze di 2:

*«Un numero è divisibile per 2ⁿ se e solo se il numero formato dalle sue ultime n cifre è divisibile per 2ⁿ.»*

Così, 2016 è divisibile per 4 perché 16 è divisibile per 4 (è così che si riconoscono gli anni bisestili non multipli di 100). È anche un multiplo di 8 perché il numero formato dalle ultime tre cifre (016) è divisibile per 8. Il numero 2016 è inoltre divisibile per 16 e per 32, ma in questi casi usare il criterio equivale a effettuare direttamente la divisione, poiché il numero di cifre è troppo piccolo perché si risparmi tempo di calcolo!

Divisibilità per 3, per 9… --------------------------

Il criterio di divisibilità per 3 è uno dei più noti:

Questo criterio deriva dal fatto che, per ogni numero intero n, 10ⁿ è sempre congruo a 1 modulo 3, o, più semplicemente, che il resto della divisione di 10*ⁿ* per 3 è sempre uguale a 1 (i numeri 9, 99, 999, 9 999… sono infatti tutti divisibili per 3).

Esiste un criterio analogo per la divisibilità per 9:

Questo criterio di divisibilità è all’origine della celebre «prova del 9», che, contrariamente a quanto suggerisce il nome, non costituisce mai una dimostrazione della correttezza (o dell’esattezza) di un calcolo. È possibile generalizzare questi criteri alla divisibilità per 27, 81…

Per verificare se un numero è divisibile per 27, lo si suddivide in «blocchi» di tre cifre, si sommano questi blocchi e si verifica se il risultato è oppure no divisibile per 27.

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Divisibilità per 11, per 5, per 25… -----------------------------------

Ve lo ricordate:

Anche in questo caso si può generalizzare il criterio per verificare la divisibilità per 5ⁿ (con n > 1):

*«Un numero è divisibile per 5ⁿ se e solo se il numero formato dalle sue ultime n cifre è divisibile per 5ⁿ.»*

Ciò deriva naturalmente dal fatto che 10ⁿ è un multiplo di 5*ⁿ ma non è un multiplo di 5ⁿ*⁺¹.

Il criterio di divisibilità per 11 è forse meno noto, ma relativamente facile da applicare:

Vediamo due esempi:

Per 2016, (0 + 6) – (2 + 1) = 3. Ne deduciamo che 2016 non è divisibile per 11 (si può persino dedurre che il resto della divisione di 2016 per 11 è uguale a 3).

Per 1 234 554 321, (2 + 4 + 5 + 3 + 1) – (1 + 3 + 5 + 4 + 2) = 15 – 15 = 0. Questo numero è dunque divisibile per 11.

Il principio di questo criterio si basa sul fatto che, per n dispari, 10n è congruo a – 1 modulo 11 e che, per n pari, 10n è congruo a 1 modulo 11.