La historia del teorema chino del resto comienza… en China, en forma de acertijos. El siguiente se debe al matemático y astrónomo Sun Zi, que vivió entre los siglos 3.º y 5.º de nuestra era (y a quien no debe confundirse con el general Sun Zi):
> «Cuando el general Han Xing agrupa a sus soldados de tres en tres, sobran dos; cuando los agrupa de cinco en cinco, sobran tres, y cuando los agrupa de siete en siete, sobran dos. ¿Cuántos soldados tiene el ejército de Han Xing?»
Tras esa apariencia lúdica se esconde un problema de aritmética relacionado con la divisibilidad. Sin resolverlo todavía, podemos observar que, si tiene una solución, obtenemos otra al añadir ciento cinco soldados, pues 105 es múltiplo de 3, 5 y 7; al repetir esta observación, se produce una infinidad de soluciones. De ello se deduce que, si existe una solución, hay una entre 1 y 105. ¡El acertijo queda así potencialmente resuelto, pues basta probar un número finito de valores!
Sin embargo, este procedimiento es laborioso y poco esclarecedor. Es preferible responder por separado a las tres condiciones planteadas. Para que sobren dos soldados al agruparlos de tres en tres, el total debe ser uno de los números 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29… Para que sobren tres al agruparlos de cinco en cinco, el total debe ser uno de los números 3, 8, 13, 18, 23, 28… Por último, para que sobren dos al ordenarlos de siete en siete, el total debe ser uno de los números 2, 9, 16, 23, 30… El número 23 pertenece a las tres sucesiones, por lo que es una solución del problema, y la menor.
Las demás son 128, después 233, y así sucesivamente, añadiendo 105 cada vez. Este procedimiento ya es más claro, pero podemos adentrarnos más en los mecanismos de la cuestión. Para ello, resulta útil introducir una nueva visión de los números: la aritmética modular.
-
