Tangente : Sur quels sujets avez-vous travaillé ensemble ?**
Gérald Tenenbaum : Nous avons surtout travaillé ensemble sur la structure multiplicative des nombres entiers. À l’époque où j’ai commencé la recherche, Erdős était l’une des rares personnes au monde à disposer d’éléments de connaissance sur le sujet actuellement connu sous le nom d’anatomie des nombres.
Dès mes premiers pas dans la discipline, je me suis posé la question de décrire un entier « normal » (voir encadré ci-dessous). La notion de normalité en théorie des nombres correspond à celle de variable « presque sûre » dans la théorie des probabilités. Cela implique de considérer des suites d’entiers (ou des ensembles d’entiers) et non des nombres particuliers.
La suite des nombres entiers n ayant moins de ln n diviseurs est de densité 1 (où ln est la fonction logarithme népérien). Il en va de même de la suite des nombres entiers n ayant au moins (1/2) ln(ln n) facteurs premiers.
Grâce à un célèbre théorème d’Erdős et Kac datant de 1939, on sait que la répartition des facteurs premiers d’un entier normal suit une loi de Gauss. En revanche, la répartition des diviseurs est beaucoup plus complexe et comporte de nombreux aspects non élucidés. Après ma thèse, j’ai travaillé cinq ans sur la conjecture d’Erdős stipulant qu’un entier normal possède toujours deux diviseurs distincts dont le rapport est compris entre 1 et 2. Cette propriété des diviseurs est vérifiée, par exemple, pour 15, divisible par 3 et 5, mais pas par 21 dont les diviseurs sont 1, 3, 7 et 21. Dans un article paru en 1984, écrit en collaboration avec l’Allemand Helmut Maier, nous avons pu confirmer la conjecture. Il est connu qu’Erdős mettait certaines de ses conjectures à prix. Il nous a versé 650 $ pour ce théorème.
