Imaginemos a un profesor que comunica a su clase que la media del último examen es 12, pero no devuelve los exámenes. ¿Qué pueden deducir los alumnos? En realidad, no gran cosa: es bien sabido que la media es un indicador estadístico muy imperfecto que proporciona muy poca información sobre la distribución de los datos. Sin embargo, hay una información que se conoce con certeza: algún alumno o alumna ha obtenido una nota igual o superior a 12 —y, simétricamente, alguien ha obtenido una nota igual o inferior a 12—; en efecto, si todo el mundo tuviera una nota estrictamente inferior a 12, la media de todas esas notas, es decir, la media anunciada por el profesor, también lo sería.
Es un fenómeno bastante elemental de entender: en cualquier conjunto de datos, siempre hay alguno que es igual o superior a la media. Seguramente tenderíamos a pasar por alto este hecho si Paul Erdős no lo hubiera convertido en el núcleo de una herramienta de formidable potencia: el método probabilístico.
Demasiados apretones de manos ------------------------
Para comprender el principio de este método, veamos un ejemplo a partir de un resultado clásico. El teorema de los apretones de manos (también llamado «teorema de los amigos y los desconocidos») afirma que, al reunir a 6 personas en una sala, siempre podemos encontrar 3 que se han dado todas la mano entre sí o 3 entre las cuales no ha habido ningún apretón de manos\*. Este resultado forma ya parte del folclore matemático y os animamos a demostrarlo si no lo habéis visto antes. También podéis comprobar que el número 6 de este enunciado es óptimo mostrando una configuración de 5 personas que incumpla la propiedad, es decir, tal que, para cualquier grupo de 3 personas elegidas entre las 5, siempre haya 2 que se han dado la mano y 2 que no se la han dado, de donde resulta imposible encontrar un grupo de 3 personas que se hayan dado todas la mano o un grupo de 3 entre las cuales no haya habido ningún apretón de manos. Una configuración así puede construirse explícitamente.
(\* También puede formularse así: en un grupo de 6 personas, siempre podemos encontrar 3 que se conocen o 3 que no se conocen.)