axiomatique de Kolmogorov

Imaginez une roue équilibrée divisée en quatre secteurs nommés R₁, R₂, B₁ et B₂. Chaque résultat reçoit la probabilité 1/4. L’événement « obtenir du rouge » regroupe R₁ et R₂ : sa probabilité vaut donc 2/4, soit 1/2.

Les axiomes de Kolmogorov encadrent cette façon d’attribuer des nombres aux événements. Le total vaut 1, l’événement impossible vaut 0 et les probabilités de possibilités incompatibles s’additionnent, même lorsqu’elles forment une suite dénombrable.

L’axiomatique de Kolmogorov définit une probabilité comme une fonction portant sur des événements. L’ensemble Ω rassemble toutes les issues possibles. Chaque événement est une partie de Ω appartenant à une tribu, notée ici σ(Ω). Dans le modèle fini de cette fiche, on retient toutes les parties de Ω : la tribu est donc P(Ω). La fonction p associe à chaque événement A un nombre p(A) compris entre 0 et 1.

La normalisation impose p(Ω) = 1. L’événement impossible ∅ a pour probabilité p(∅) = 0. Enfin, si A₁, A₂, … sont deux à deux disjoints, donc incompatibles deux par deux, leur réunion vérifie la σ-additivité :

Cette égalité exige la disjonction. Pour des événements qui peuvent se recouvrir, l’inégalité de Boole fournit plutôt une borne : la probabilité de leur réunion ne dépasse pas la somme de leurs probabilités. Ces règles fondent le calcul probabiliste sans indiquer, à elles seules, comment choisir le modèle adapté à une expérience.

La roue équilibrée possède quatre issues : Ω = {R₁, R₂, B₁, B₂}. Chacune a pour probabilité 1/4. On note A l’événement « secteur rouge », soit {R₁, R₂}, et B l’événement « secteur portant l’indice 2 », soit {R₂, B₂}.

1. Les singletons {R₁} et {R₂} sont disjoints. La σ-additivité donne p(A) = 1/4 + 1/4 = 1/2.
2. De même, p(B) = 1/2.
3. A et B ne sont pas disjoints : ils ont R₂ en commun.
4. Leur réunion contient trois issues, donc p(A ∪ B) = 3/4.
5. L’inégalité de Boole est vérifiée : 3/4 ≤ 1/2 + 1/2 = 1.

Le contrôle consiste à recompter les issues distinctes de A ∪ B : R₁, R₂ et B₂. Trois issues sur quatre confirment exactement le résultat 3/4.

Pour construire un modèle fini, on commence par lister les issues, puis on attribue leurs probabilités. Sur la roue équilibrée, quatre poids égaux de 1/4 conviennent, car ils sont compris entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. Si la roue est déséquilibrée, il faut employer des poids mesurés ou spécifiés plutôt que supposer l’équiprobabilité.

Pour calculer la probabilité d’un événement formé de cas incompatibles, on additionne leurs probabilités. Ce geste donne p(A) = 1/2 pour les deux secteurs rouges de l’exemple.

Pour borner la probabilité d’au moins un événement parmi plusieurs, l’inégalité de Boole reste utilisable même en présence de recouvrements. Une somme supérieure à 1 demeure une borne correcte, mais la normalisation donne alors la borne plus informative 1.

Axiomes et équiprobabilité. Les axiomes n’imposent pas que toutes les issues aient la même probabilité. Le test est simple : sur une roue déséquilibrée, des poids différents peuvent respecter la normalisation et la σ-additivité. L’équiprobabilité de la roue de l’exemple vient de son caractère équilibré, pas de l’axiomatique.

σ-additivité et indépendance. La σ-additivité concerne une famille d’événements deux à deux disjoints. L’indépendance est une autre relation : deux événements indépendants peuvent se produire ensemble. Dans l’exemple, A et B se recouvrent en R₂, si bien que leur probabilité commune n’est pas nulle.

Égalité additive et inégalité de Boole. Pour des événements disjoints, la probabilité de la réunion égale la somme. Pour A et B, qui se recouvrent, seule la borne p(A ∪ B) ≤ p(A) + p(B) s’applique directement.

Recouvrement oublié. Additionner p(A) et p(B) comme si A et B étaient disjoints compte deux fois leur intersection. Le symptôme apparaît dans l’exemple : la somme vaut 1 alors que la réunion vaut 3/4. Il faut retrancher le recouvrement ou se limiter à l’inégalité de Boole.

Fini pris pour dénombrable. Vérifier seulement des réunions de deux événements ne restitue pas explicitement l’exigence portant sur toute suite dénombrable. Dans un modèle fini, les termes non vides finissent par s’épuiser ; dans un cadre infini, il faut conserver la σ-additivité complète.

Borne supérieure à 1. L’inégalité de Boole peut produire une somme supérieure à 1. Ce résultat n’est pas une probabilité : c’est une borne peu informative. Puisque p(Ω) = 1, on remplace alors cette borne par 1.

Axiomes pris pour un modèle complet. Respecter les axiomes garantit la cohérence d’une attribution, mais ne prouve pas que les probabilités choisies décrivent correctement la roue réelle. Il faut établir séparément les issues pertinentes et leurs poids.

Un espace probabilisé réunit le support des issues, les événements auxquels une probabilité est attribuée et la mesure de probabilité. Cette vue situe les axiomes dans leur structure d’emploi.

La notion d’événement précise ce que représentent les sous-ensembles auxquels p attribue un nombre. Elle aide à distinguer une issue unique, une réunion d’issues et l’événement impossible.