Système quasi-complet d'événements

Imaginez quatre issues ayant chacune une chance sur quatre. Un premier événement en rassemble deux, un deuxième reprend l'une de ces deux issues et un troisième en contient une autre. Les probabilités des trois événements valent 1/2, 1/4 et 1/4 : leur somme vaut 1. Pourtant, une issue est comptée deux fois et une autre pas du tout. Cette famille illustre ce que la définition source appelle un système quasi-complet : le total des probabilités vaut 1, mais les événements peuvent se chevaucher.

Dans la convention retenue ici, on considère une famille finie ou dénombrable d'événements (A_i)_i∈I dans un espace probabilisé. La condition qui la qualifie de quasi-complète est que la somme de leurs probabilités vaille 1 :

Cette égalité porte sur la somme des nombres P(A_n), pas directement sur la probabilité de leur réunion. Les événements ne sont pas supposés incompatibles : une même issue peut appartenir à plusieurs d'entre eux. En conséquence, leur réunion n'est pas nécessairement l'espace entier. Une partition, souvent appelée système complet d'événements, impose au contraire des événements deux à deux incompatibles et une réunion égale à l'espace, au moins à un événement de probabilité nulle près. Pour appliquer la formule classique des probabilités totales, la seule somme égale à 1 ne suffit donc pas : il faut disposer d'une partition, ou transformer la famille en morceaux disjoints qui couvrent presque sûrement l'espace.

La structure comporte quatre éléments. L'espace probabilisé fournit les issues et leur probabilité. La famille dénombrable rassemble les événements A_n. Chaque nombre P(A_n) mesure le poids de l'événement correspondant. Enfin, la série additionne tous ces poids et doit avoir pour somme 1. La famille détermine donc les termes de la série, tandis que la mesure de probabilité détermine leur valeur. Le chevauchement appartient à la géométrie des événements, mais il n'est pas détecté par la seule somme numérique. Ces données suffisent à vérifier la condition de quasi-complétude retenue ici ; la couverture de l'espace se vérifie à partir de la description des événements, et non de la seule somme numérique. Elles ne suffisent pas à appliquer directement les probabilités totales.

On choisit au hasard une issue dans l'univers Ω = {1, 2, 3, 4}. Les quatre issues sont équiprobables. Les données sont A₁ = {1, 2}, A₂ = {2} et A₃ = {4}.

1. L'événement A₁ contient deux issues sur quatre, donc P(A₁) = 2/4 = 1/2.
2. Chacun des événements A₂ et A₃ contient une issue, donc P(A₂) = P(A₃) = 1/4.

3. On additionne les trois probabilités :

4. Le contrôle par les issues révèle néanmoins que 2 appartient à A₁ et A₂, tandis que 3 n'appartient à aucun événement. La réunion vaut {1, 2, 4}, de probabilité 3/4. La famille satisfait donc la condition numérique donnée, mais elle n'est ni disjointe ni exhaustive. La représentation des quatre issues rend ce double constat immédiatement vérifiable.

Lorsque des événements sont proposés avec des probabilités dont la somme vaut 1, on vérifie séparément leurs intersections et leur réunion. La somme contrôle les poids ; elle ne contrôle pas à elle seule la couverture de l'univers.

Pour calculer une probabilité par cas, on préfère une partition. Si les événements se chevauchent, on les remplace par des morceaux disjoints et l'on ajoute le reste éventuel de l'univers. Le critère observable est simple : chaque issue doit appartenir à un seul cas avant d'employer la formule des probabilités totales, sauf éventuellement sur un ensemble de probabilité nulle.

Dans un exercice, un total égal à 1 constitue ainsi un premier test, jamais une preuve automatique d'exhaustivité. Un diagramme, une liste des issues ou le calcul des intersections permet de choisir entre la famille initiale et sa version disjointe.

Un système complet d'événements, ou partition. Ses événements sont deux à deux incompatibles et couvrent l'espace, éventuellement à un ensemble de probabilité nulle près. Dans l'exemple à quatre issues, A₁, A₂ et A₃ ne forment pas une partition, car l'issue 2 est partagée et l'issue 3 manque.

Une famille exhaustive. Son critère est la couverture de l'espace, non la somme des probabilités. Les événements {1, 2, 3} et {2, 4} couvrent l'univers de l'exemple, mais leurs probabilités totalisent 5/4 à cause du chevauchement.

Somme égale à 1 sans couverture. Le cas charnière de l'exemple donne une somme de 1, mais une réunion de probabilité 3/4. Il faut donc calculer la réunion séparément au lieu de conclure à l'exhaustivité.

Chevauchement et probabilités totales. La formule classique additionne des cas incompatibles. Si une issue appartient à deux événements, elle risque d'être comptée deux fois. Il faut d'abord former une partition, par exemple en conservant A₁, puis en retirant des événements suivants tout ce qui a déjà été retenu.

Couverture presque sûre. Une partition peut omettre un ensemble de probabilité nulle sans changer les calculs probabilistes. Cela ne signifie pas que la réunion est littéralement égale à l'espace ; l'égalité vaut alors au sens probabiliste.

Famille dénombrable. Pour une infinité d'événements, on additionne les probabilités par sommes partielles croissantes. Une valeur limite égale à 1 contrôle encore seulement les poids cumulés. Elle ne supprime ni les chevauchements ni les zones non couvertes.

La formule des probabilités totales montre le calcul rendu possible lorsque les cas forment réellement une partition.

La probabilité conditionnelle précise le poids d'un événement à l'intérieur de chaque cas retenu.

La formule de Bayes renverse ensuite le conditionnement lorsque les probabilités des cas et des observations sont connues.