Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Probabilités totales (formule des)
La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant selon un système complet d'événements (une partition de l'espace de probabilité). Si A1, A2, ..., An forment une partition de l'espace et ont des probabilités non nulles, alors P(B) = somme de P(B intersection Ai) = somme de P(Ai) fois P(B sachant Ai). Cette formule est la base de la formule de Bayes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier une partition adaptée à la question posée.
- Calculer une probabilité globale par pondération des probabilités conditionnelles.
- Distinguer probabilités totales, probabilité conditionnelle et formule de Bayes.
- Éviter le double comptage et la moyenne non pondérée.
En clair
Une usine reçoit des pièces de deux machines. Pour trouver la proportion de pièces défectueuses dans toute la production, on examine séparément ce qui vient de chaque machine. La contribution de chaque machine dépend à la fois de sa part dans la production et de son propre taux de défauts.
La formule des probabilités totales additionne ces contributions. Elle découpe ainsi une question globale en plusieurs cas qui ne se chevauchent pas et qui couvrent toutes les possibilités.
Définition
La formule des probabilités totales calcule la probabilité d'un événement en répartissant les issues possibles entre plusieurs cas. Ces cas forment une partition de l'univers : ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion contient toutes les issues. On parle aussi de système complet d'événements.
Notons B l'événement recherché et A1, A2, …, An les événements de la partition. Pour chaque indice i, la probabilité de Ai doit être non nulle afin que la probabilité conditionnelle de B sachant Ai soit définie. La probabilité de B est alors la somme des probabilités des intersections entre B et chacun des cas.
Chaque intersection se calcule comme le produit de la probabilité du cas par la probabilité de B dans ce cas. La somme obtenue est une moyenne pondérée des probabilités conditionnelles, les poids étant les probabilités des Ai. Cette décomposition fournit ensuite le dénominateur utilisé dans la formule de Bayes.
Le principe
Soit B un événement. Si les événements A1, A2, …, An forment une partition de l'univers et si chacun a une probabilité strictement positive, alors :
Chaque terme mesure la contribution d'un cas Ai à la réalisation de B. L'addition donne la probabilité de B sur l'ensemble des cas possibles.
Quand l'utiliser
La formule s'applique dans un espace de probabilité lorsque les cas choisis couvrent tout l'univers sans se chevaucher. Il faut connaître la probabilité de chaque cas et la probabilité de l'événement recherché à l'intérieur de chacun. Les probabilités des cas doivent totaliser 1.
Pour employer l'écriture conditionnelle, chaque cas doit avoir une probabilité non nulle. Un cas de probabilité nulle peut être retiré d'une partition finie sans modifier la somme, mais la quantité P(B sachant Ai) n'est alors pas définie par le quotient usuel.
Si deux cas peuvent se produire ensemble, leurs contributions risquent d'être comptées deux fois. Il faut alors construire une véritable partition, par exemple en séparant leur intersection et leurs parties exclusives, avant d'appliquer la formule.
Un exemple, pas à pas
Une usine produit des pièces avec deux machines. La machine A fournit 60 % des pièces et 2 % des siennes sont défectueuses. La machine B fournit les 40 % restants et 5 % des siennes sont défectueuses. On cherche la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
Données.
P(A) = 0,60 et P(défaut sachant A) = 0,02.
P(B) = 0,40 et P(défaut sachant B) = 0,05.
P(A) = 0,60 et P(défaut sachant A) = 0,02.
P(B) = 0,40 et P(défaut sachant B) = 0,05.
1. La contribution de la machine A vaut 0,60 × 0,02 = 0,012, soit 1,2 % de toute la production.
2. La contribution de la machine B vaut 0,40 × 0,05 = 0,020, soit 2 % de toute la production.
3. Les deux origines sont incompatibles et couvrent toute la production. La probabilité cherchée vaut donc 0,012 + 0,020 = 0,032, soit 3,2 %. Sur 10 000 pièces produites dans ces proportions, on attend en moyenne 120 + 200 = 320 pièces défectueuses, soit 320/10 000 = 3,2 % ; l'effectif réel peut varier.
En pratique
Dans un contrôle qualité, on sépare la production par machine, atelier ou fournisseur. On utilise les probabilités totales lorsque les parts de production et les taux de défauts par origine sont connus ; un taux global observé directement est préférable si toutes les pièces ont déjà été contrôlées.
Dans un dépistage, on peut répartir une population en groupes présentant des fréquences différentes d'une maladie. La formule agrège les résultats par groupe ; la formule de Bayes devient nécessaire si l'on veut ensuite remonter d'un résultat positif vers la probabilité d'appartenir à un groupe.
Dans un arbre de probabilités, chaque branche du premier niveau représente un cas de la partition. On multiplie le long de chaque chemin menant à l'événement recherché, puis on additionne les chemins correspondants.
À ne pas confondre
La probabilité conditionnelle P(B sachant A) mesure B à l'intérieur d'un cas A. La formule des probabilités totales combine plusieurs de ces probabilités conditionnelles. Dans l'usine, 2 % est le taux de défauts sachant que la pièce vient de A, tandis que 3,2 % est le taux global.
La formule de Bayes inverse le conditionnement : elle calcule par exemple la probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de B. Les probabilités totales calculent d'abord la probabilité globale d'un défaut, qui apparaît au dénominateur de ce calcul inverse.
La formule d'addition calcule la probabilité de l'union de deux événements et corrige leur éventuel chevauchement. Les probabilités totales partent au contraire d'une partition et additionnent les intersections d'un même événement avec tous les cas.
Limites et pièges
Lorsque les poids sont exacts, un total différent de 1 révèle une partition incomplète ou des proportions incohérentes. Avec des poids arrondis, un faible écart peut simplement venir des arrondis. Dans l'exemple, 60 % + 40 % = 100 %. Si la somme exacte valait 90 %, il faudrait retrouver les 10 % manquants avant tout calcul.
Des cas qui se chevauchent provoquent un double comptage. Le symptôme est qu'une même issue appartient à plusieurs branches de départ. Il faut rendre les cas incompatibles, quitte à découper plus finement l'univers.
Une moyenne simple des taux conditionnels n'est correcte que lorsque tous les cas ont le même poids. Ici, (2 % + 5 %)/2 = 3,5 % est faux, car les machines produisent 60 % et 40 % des pièces. La moyenne pondérée donne 3,2 %.
Un événement de probabilité nulle ne doit pas recevoir arbitrairement une probabilité conditionnelle par la formule élémentaire. Dans une partition finie, on omet ce cas de la somme ; dans des cadres continus, on emploie des outils de conditionnement plus généraux.
Pour aller plus loin
Conditionnelle (probabilité) — Pour approfondir le sens de P(B sachant A), le terme qui décrit chaque branche avant leur pondération.
Le théorème de Bayes, un outil pour le médecin — Pour voir comment la probabilité totale intervient dans un raisonnement diagnostique et permet d'inverser un conditionnement.
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