Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
arbre pondéré
Un arbre pondéré, ou arbre de probabilité, est un graphe orienté utilisé pour modéliser des expériences aléatoires composées, c'est-à-dire des situations où deux ou plusieurs expériences s'enchaînent et où la probabilité des issues peut dépendre des résultats antérieurs. L'arbre se construit à partir d'un sommet initial duquel partent des branches primaires, chacune représentant une issue possible d'une première expérience et portant la probabilité correspondante. Chaque nœud intermédiaire donne naissance à de nouvelles branches, elles-mêmes pondérées, et ainsi de suite. L'arbre vérifie les propriétés suivantes : (1) la somme des pondérations des branches issues d'un même nœud est égale à 1 ; (2) la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches ; (3) la probabilité d'un événement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à cet événement. Ces propriétés traduisent directement les probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales et le théorème de Bayes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les nœuds, les branches et leurs pondérations.
- Multiplier le long d’un chemin et additionner plusieurs chemins compatibles.
- Calculer une probabilité conditionnelle inverse avec un exemple vérifiable.
- Détecter une somme de branches incohérente ou une inversion de conditionnelles.
En clair
Imaginons un test appliqué à une personne choisie au hasard. Une première bifurcation sépare les personnes malades des autres. Depuis chacune de ces deux branches, une seconde bifurcation indique si le test est positif ou négatif. Chaque branche porte une probabilité.
Cet arbre pondéré rend visible l’ordre des événements et leur dépendance. Pour suivre un scénario complet, on multiplie les nombres rencontrés. Si plusieurs scénarios donnent le même résultat, on additionne ensuite leurs probabilités.
Définition
Un arbre pondéré, aussi appelé arbre de probabilité, est un graphe orienté qui représente une succession d’expériences aléatoires. Le sommet initial décrit la situation de départ. Chaque branche issue d’un nœud représente une issue possible, et sa pondération est la probabilité de cette issue sachant le chemin déjà parcouru. Les nœuds suivants décrivent les étapes ultérieures.
À chaque nœud, les issues doivent être incompatibles et couvrir tous les cas possibles. Si les pondérations de ses branches sont notées p1, p2, jusqu’à pn, leur somme vaut 1 : . La probabilité d’un chemin complet est le produit de ses pondérations. Pour deux événements successifs A puis B, cela donne , où P(B sachant A) est inscrit sur la branche menant de A vers B.
La probabilité d’un événement final s’obtient en additionnant les probabilités de tous les chemins qui y conduisent. Cette règle exprime la formule des probabilités totales. En remontant d’un résultat observé vers une cause possible, le même arbre met aussi en œuvre le théorème de Bayes.
Un exemple, pas à pas
Un test est appliqué à une personne choisie au hasard. L’arbre sépare les deux états possibles, puis les deux résultats du test.
Données :
10 % des personnes sont malades.
Parmi elles, 90 % ont un test positif.
Parmi les personnes non malades, 20 % ont un test positif.
Chaque test est soit positif, soit négatif.
Données :
10 % des personnes sont malades.
Parmi elles, 90 % ont un test positif.
Parmi les personnes non malades, 20 % ont un test positif.
Chaque test est soit positif, soit négatif.
1. Les pondérations manquantes sont les complémentaires à 100 % : 90 % des personnes ne sont pas malades, 10 % des personnes malades testent négatif et 80 % des autres testent négatif.
2. Le chemin « malade puis positif » a pour probabilité , soit 9 %.
3. Le chemin « non malade puis positif » a pour probabilité , soit 18 %.
4. Un test positif provient de l’un de ces deux chemins. Sa probabilité vaut donc , soit 27 %.
5. Parmi les tests positifs, la probabilité que la personne soit malade vaut , soit environ 33,3 %. Les deux chemins négatifs valent 10 % × 10 % = 1 % et 90 % × 80 % = 72 %. Le contrôle global donne 9 % + 1 % + 18 % + 72 % = 100 %.
En pratique
Pour calculer la probabilité d’un résultat après plusieurs étapes, on trace une bifurcation par étape, on multiplie le long de chaque chemin utile, puis on additionne les chemins retenus. Une formule directe est plus courte lorsqu’un seul enchaînement intervient.
Pour interpréter un test, on distingue d’abord l’état réel du résultat observé. L’arbre est préférable lorsque les taux positifs diffèrent selon l’état. Un tableau d’effectifs est souvent plus lisible si les données sont déjà fournies sous forme de comptages.
Pour vérifier un modèle, on contrôle que les branches quittant chaque nœud totalisent 1 et que tous les chemins complets totalisent aussi 1. Une erreur signale une issue oubliée ou une pondération incohérente. Ce contrôle de cohérence reste nécessaire pour l’arbre ; une autre présentation peut vérifier la même normalisation par une méthode équivalente.
À ne pas confondre
Arbre de décision. Ses branches peuvent représenter des choix et ses feuilles des gains ou des coûts. Dans un arbre pondéré de probabilités, les branches issues d’un nœud sont des issues aléatoires dont les pondérations totalisent 1. Choisir volontairement de faire un test relève d’une décision ; obtenir un résultat positif relève d’une issue aléatoire.
Arbre des possibles non pondéré. Il énumère des suites d’issues sans leur attribuer nécessairement de probabilités. Deux chemins dessinés ne sont donc pas automatiquement équiprobables. Dans l’exemple du test, les quatre chemins existent, mais leurs probabilités sont 9 %, 1 %, 18 % et 72 %.
Limites et pièges
Pondérations conditionnelles. Une probabilité placée après un nœud ne vaut que dans la situation décrite par ce nœud. Recopier 90 % sur toutes les secondes branches ferait disparaître la dépendance du test à l’état réel. Il faut conditionner chaque pondération au chemin déjà parcouru.
Branches incomplètes ou superposées. Les branches issues d’un même nœud doivent décrire des cas incompatibles et exhaustifs. Si leur somme vaut 0,9 ou 1,1 au lieu de 1, le modèle est incomplet ou incohérent ; il faut revoir les issues avant tout calcul.
Conditionnement impossible. Remonter d’un résultat vers une cause exige que le résultat ait une probabilité strictement positive. Si cette probabilité vaut 0, le quotient utilisé par le théorème de Bayes n’est pas défini. Il faut reformuler le modèle ou l’événement observé.
Inversion des conditionnelles. La probabilité d’un test positif sachant que la personne est malade n’est pas celle d’être malade sachant que le test est positif. Dans l’exemple, elles valent respectivement 90 % et environ 33,3 %. Il faut recalculer la seconde à partir de tous les chemins positifs.
Pour aller plus loin
Conditionnelle (probabilité) — Cette notion précise le sens d’une pondération qui dépend des branches déjà parcourues.
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