Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Arbre de probabilité
Un arbre de probabilité est une représentation graphique structurée en arbre permettant de visualiser et calculer les probabilités d'événements successifs ou d'événements composés. Chaque noeud de l'arbre représente un état ou un événement, et les branches portent les probabilités conditionnelles de passer d'un état au suivant. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ses branches. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à cet événement.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de la racine, des nœuds, des branches et de leurs pondérations.
- Calculer la probabilité d’un chemin par multiplication.
- Calculer un événement par addition de chemins complets incompatibles.
- Vérifier un arbre grâce aux sommes de probabilités égales à 1.
- Repérer une dépendance oubliée ou un double comptage.
En clair
Imaginez un sac contenant trois boules rouges et deux bleues. Vous tirez une boule, puis une seconde sans remettre la première. Au premier embranchement, une branche correspond à « rouge » et l’autre à « bleue ». Chacune se partage encore selon la couleur du second tirage.
Cet arbre garde la mémoire du premier résultat : après une boule rouge, le sac n’a plus la même composition. Pour connaître la probabilité d’un scénario complet, on multiplie les nombres rencontrés sur son chemin. Si plusieurs chemins donnent le résultat recherché, on additionne ensuite leurs probabilités.
Définition
Un arbre de probabilité organise une expérience en étapes successives. La racine représente la situation initiale, chaque nœud un état déjà atteint, et chaque branche l’un des événements possibles à l’étape suivante. Le nombre porté par une branche est la probabilité de cet événement sachant le chemin déjà parcouru. À chaque nœud non terminal, les branches sortantes doivent décrire tous les cas possibles et leurs probabilités ont pour somme 1.
Notons E1, E2, …, En les événements rencontrés successivement sur un chemin. La probabilité de ce chemin est le produit de la probabilité du premier événement et des probabilités conditionnelles suivantes : . Si un événement A est obtenu par plusieurs chemins complets C1, …, Cm, ces chemins sont incompatibles deux à deux. On additionne alors leurs probabilités : . L’arbre convient aussi bien à des probabilités constantes qu’à des probabilités qui changent après chaque résultat.
Un exemple, pas à pas
Un sac contient trois boules rouges et deux boules bleues. Deux boules sont tirées successivement, sans remise. On cherche la probabilité d’obtenir exactement une boule rouge.
Données :
• avant le premier tirage : 3 rouges et 2 bleues ;
• après une rouge : 2 rouges et 2 bleues ;
• après une bleue : 3 rouges et 1 bleue. Le schéma de l’arbre rend visibles les quatre chemins complets.
Données :
• avant le premier tirage : 3 rouges et 2 bleues ;
• après une rouge : 2 rouges et 2 bleues ;
• après une bleue : 3 rouges et 1 bleue. Le schéma de l’arbre rend visibles les quatre chemins complets.
1. Au premier tirage, la branche rouge a pour probabilité 3/5 et la branche bleue 2/5.
2. Après une rouge, les probabilités du second tirage sont 2/4 pour rouge et 2/4 pour bleue. Après une bleue, elles sont 3/4 pour rouge et 1/4 pour bleue.
3. Exactement une rouge apparaît sur deux chemins : rouge puis bleue, ou bleue puis rouge. Leurs probabilités valent respectivement et .
4. Ces deux chemins sont incompatibles : un tirage donné ne peut pas suivre les deux à la fois. On additionne donc leurs probabilités.
La probabilité cherchée est donc 3/5, soit 60 %. Pour contrôler l’arbre, on additionne les quatre probabilités finales : 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 1.
En pratique
Pour étudier plusieurs tirages successifs, on crée un niveau par tirage et l’on adapte les probabilités après chaque résultat. Une simple multiplication suffit seulement si un scénario unique est visé et si toutes ses probabilités sont déjà connues.
Pour calculer la probabilité d’un résultat obtenu de plusieurs façons, on repère tous les chemins complets qui le réalisent. On multiplie sur chacun, puis on additionne les résultats. Une formule directe est préférable lorsque ces chemins ont déjà été identifiés et que le dessin n’apporte plus de contrôle visuel.
Pour relire un arbre, on vérifie d’abord que les probabilités sortant de chaque nœud totalisent 1. On contrôle ensuite que les probabilités de tous les chemins complets totalisent aussi 1. Un tableau à double entrée peut être plus compact quand l’expérience n’a que deux critères sans ordre successif à représenter.
À ne pas confondre
Arbre de décision. Un arbre de probabilité décrit des événements aléatoires et pondère ses branches par des probabilités. Un arbre de décision comporte aussi des choix et peut comparer leurs conséquences. Si une branche dépend d’une action choisie, il ne s’agit pas d’une branche aléatoire ordinaire.
Arbre des possibles. Il énumère des suites de résultats, mais ses branches ne sont pas nécessairement pondérées. Dans le sac de boules, un dessin indiquant seulement rouge ou bleue recense les possibilités ; l’ajout de 3/5, 2/5 puis des probabilités conditionnelles en fait un arbre de probabilité.
Tableau de probabilités. Un tableau classe des probabilités par lignes et colonnes, tandis qu’un arbre montre l’ordre des étapes. Pour deux tirages sans remise, l’arbre rend immédiatement visible la modification du second tirage ; un tableau présente plutôt les quatre résultats déjà croisés.
Limites et pièges
Branches incomplètes ou mal pondérées. Une probabilité de branche doit rester entre 0 et 1 : 0 signifie impossible et 1 signifie certain. Si les branches sortant d’un même nœud ne totalisent pas exactement 1, un cas manque ou une pondération est erronée ; il faut corriger ce niveau avant tout calcul.
Dépendance oubliée. Sans remise, le premier tirage modifie le contenu du sac. Réutiliser 3/5 et 2/5 au second niveau produit un arbre faux. Il faut recalculer chaque probabilité conditionnelle à partir de l’état représenté par le nœud atteint.
Conditionnement par un événement impossible. Une branche de probabilité 0 peut figurer pour signaler un cas impossible, mais les probabilités conditionnelles placées après ce cas ne se déduisent pas par division. Il faut supprimer ce prolongement ou justifier séparément la convention employée.
Somme de chemins qui se recouvrent. L’addition directe exige des chemins complets incompatibles. Si deux descriptions comptent un même résultat, leur somme le compte deux fois. Il faut d’abord découper l’événement en chemins disjoints, puis additionner leurs probabilités.
Pour aller plus loin
Conditionnelle (probabilité) — Pour interpréter précisément la pondération d’une branche après un premier événement.
Probabilités totales (formule des) — Pour formaliser la somme des chemins qui conduisent au même événement.
formule de Bayes — Pour remonter d’un résultat observé vers la probabilité de l’une de ses causes.
Calcul des probabilités : — Pour replacer la règle des chemins parmi les méthodes usuelles du calcul probabiliste.
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