Probabilités composées (formule des)

Une urne contient trois boules rouges et deux bleues. Pour obtenir d'abord une rouge puis une bleue, deux étapes doivent réussir l'une après l'autre. La première réussite modifie la situation : après la sortie d'une rouge, il reste quatre boules, dont deux bleues.

La formule des probabilités composées traduit cette succession. Elle multiplie la chance de la première étape par celle de la suivante, calculée en tenant compte de ce qui s'est déjà produit.

La formule des probabilités composées donne la probabilité que plusieurs événements se réalisent simultanément, c'est-à-dire la probabilité de leur intersection. Soient A et B deux événements. Si la probabilité de A est non nulle, la probabilité de B sachant A, notée $P(B\mid A)P(B\backslash mid\; A)$, mesure la chance de B lorsque A est réalisé.

La relation à deux événements est :

Pour une suite d'événements A₁, A₂, …, A_n, chaque facteur conditionne l'événement suivant par tous les précédents. Les intersections utilisées comme conditions doivent avoir une probabilité non nulle. La formule devient :

Lorsque les événements sont mutuellement indépendants, les probabilités conditionnelles se réduisent aux probabilités ordinaires. Le produit reste valable, mais l'indépendance n'est pas une condition générale de la formule.

Soient A₁, A₂, …, A_n des événements. Si, pour chaque indice k allant de 2 à n, l'intersection A₁ ∩ … ∩ A_k−1 a une probabilité non nulle, alors :

Le produit suit l'ordre choisi : chaque facteur est la probabilité du nouvel événement sachant que tous les précédents ont eu lieu.

La formule s'applique à des événements définis sur une même expérience aléatoire. Il faut connaître la probabilité du premier événement, puis les probabilités conditionnelles successives. À chaque étape, l'événement placé après la barre de conditionnement doit avoir une probabilité strictement positive.

L'ordre des événements peut être choisi autrement, à condition de recalculer chaque condition. Le produit final décrit toujours la même intersection, mais ses facteurs changent avec l'ordre. Aucune hypothèse d'indépendance n'est nécessaire.

Si P(A) = 0, l'expression P(B sachant A) n'est pas définie par le quotient usuel : la formule écrite dans cet ordre est bloquée. Il faut calculer directement l'intersection, ou réordonner les événements si une autre condition possède une probabilité non nulle.

Une urne contient cinq boules : trois rouges et deux bleues. On tire deux boules successivement, sans remettre la première. On cherche la probabilité d'obtenir une rouge au premier tirage puis une bleue au second.

Données. L'événement R signifie « la première boule est rouge ». L'événement B signifie « la seconde boule est bleue ». Au départ, 3 boules sur 5 sont rouges. Si R est réalisé, il reste 2 boules bleues parmi 4 boules.

1. La probabilité du premier événement vaut P(R) = 3/5.

2. Sachant que la première boule est rouge, la probabilité d'obtenir ensuite une bleue vaut P(B sachant R) = 2/4 = 1/2.

3. Le chemin correspondant aux deux événements successifs rend visible le produit à effectuer :

La probabilité recherchée est donc exactement 3/10, soit 30 %. Pour contrôler le résultat, on peut compter les couples ordonnés de boules distinctes : 6 couples rouge-bleu conviennent parmi 5 × 4 = 20 couples, et 6/20 = 3/10.

Dans un arbre de probabilité, on multiplie les probabilités portées par les branches d'un même chemin. Si plusieurs chemins conduisent au résultat recherché, on additionne ensuite leurs probabilités.

Pour des tirages sans remise, on actualise les effectifs après chaque tirage. Une formule fondée sur l'indépendance ne convient pas, car la composition de l'urne change.

Dans un contrôle en plusieurs étapes, on décrit d'abord l'ordre des succès nécessaires. On emploie la formule des probabilités composées lorsque la réussite finale exige toute la chaîne ; la formule des probabilités totales convient plutôt lorsqu'elle peut provenir de plusieurs cas alternatifs.

Probabilité conditionnelle. P(B sachant A) décrit seulement la probabilité de B une fois A réalisé. La probabilité composée P(A ∩ B) inclut aussi la chance que A se réalise. Dans l'urne, ces valeurs sont 1/2 et 3/10 : elles ne répondent pas à la même question.

Formule des probabilités totales. Elle additionne les contributions de cas incompatibles qui couvrent toutes les possibilités. La formule des probabilités composées multiplie les facteurs d'un seul enchaînement. Dans un arbre, la première agit entre plusieurs chemins ; la seconde agit le long d'un chemin.

Condition de probabilité nulle. Si l'événement conditionnant a une probabilité égale à 0, la probabilité conditionnelle élémentaire n'est pas définie. Le symptôme est une division par zéro ; il faut changer l'ordre du calcul ou traiter directement l'intersection.

Indépendance supposée trop vite. Remplacer P(B sachant A) par P(B) exige l'indépendance de A et B. Dans un tirage sans remise, le dénominateur passe ici de 5 à 4 : conserver les probabilités initiales donnerait un résultat erroné.

Indépendance deux à deux. Pour trois événements ou davantage, l'indépendance de chaque paire ne suffit pas toujours à remplacer tous les facteurs conditionnels par des probabilités ordinaires. Il faut vérifier l'indépendance mutuelle de la famille.

Ordre des facteurs. L'intersection ne dépend pas de l'ordre, mais les probabilités conditionnelles intermédiaires en dépendent. Il faut conserver le même ordre dans les événements, les conditions et les données utilisées.

Conditionnelle (probabilité) précise le sens et le calcul de chaque facteur placé après la première étape du produit.

Arbre de probabilité montre comment organiser les conditionnements successifs et lire le produit associé à un chemin.

Probabilités totales (formule des) prolonge le calcul lorsqu'un événement peut être atteint par plusieurs chemins incompatibles.

Mutuellement indépendants (événements) donne la condition qui autorise à remplacer les facteurs conditionnels par des probabilités ordinaires.