urne de Polya

Imaginez une urne contenant deux boules blanches et une rouge. Après avoir tiré une boule, vous la remettez et ajoutez une nouvelle boule de la même couleur. Un tirage blanc rend ainsi le prochain tirage blanc plus probable.

Cette petite mémoire change tout : contrairement à une suite de tirages indépendants, les probabilités évoluent avec l’histoire de l’urne. Les premières couleurs sorties peuvent donc orienter durablement sa composition, sans déterminer à l’avance la proportion finale.

L’urne de Pólya est un processus aléatoire à renforcement positif. Elle contient initialement un nombre a de boules blanches et un nombre b de boules rouges, tous deux entiers strictement positifs. À chaque étape, une boule est choisie uniformément, remise dans l’urne, puis accompagnée d’une boule supplémentaire de sa couleur. Après le premier tirage, l’effectif total passe donc de a + b à a + b + 1.

Si W_n désigne le nombre de tirages blancs parmi les n premiers tirages, la proportion de boules blanches après ces tirages est :Cette proportion est aussi la probabilité conditionnelle que le tirage suivant soit blanc. Le mécanisme est dépendant du chemin suivi : deux urnes parties de la même composition peuvent aboutir à des proportions différentes.

Quand le processus se poursuit indéfiniment avec une boule ajoutée à chaque étape, la proportion X_n converge presque sûrement vers une variable aléatoire X. Cette limite suit la loi bêta de paramètres a et b. Imaginé par George Pólya en 1923, le modèle avait pour motivation la propagation d’une épidémie. Il sert aussi à représenter la contagion et des phénomènes économiques de rendements croissants.

Une urne contient au départ 2 boules blanches et 1 boule rouge. On observe quatre tirages : blanche, rouge, blanche, blanche. Après chacun d’eux, la boule tirée revient avec une nouvelle boule de la même couleur. La succession des deux compositions extrêmes rend le renforcement visible, même sans les étapes intermédiaires.

1. Avant le premier tirage, la probabilité d’obtenir une boule blanche vaut 2/3. Le premier tirage blanc conduit à 3 blanches et 1 rouge.

2. La probabilité de tirer ensuite la rouge vaut 1/4. Ce tirage conduit à 3 blanches et 2 rouges.

3. La probabilité du troisième tirage blanc vaut alors 3/5. Après ce tirage, l’urne contient 4 blanches et 2 rouges ; la probabilité du quatrième blanc vaut 4/6.

4. Le dernier blanc porte la composition à 5 blanches et 2 rouges. La proportion blanche finale est 5/7, soit environ 71,4 %. Contrôle : l’urne compte bien 3 + 4 = 7 boules, et la probabilité de la séquence ordonnée vaut $\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{6}=\frac{1}{15}\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash times\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash times\backslash frac\{3\}\{5\}\backslash times\backslash frac\{4\}\{6\}=\backslash frac\{1\}\{15\}$.

Pour représenter une contagion, une couleur peut coder un état qui se propage. L’urne convient lorsque l’observation d’un état augmente la chance de le revoir. Si cette chance reste fixe, des tirages indépendants sont préférables.

En économie, une couleur peut représenter une technologie ou un choix déjà adopté. Le modèle décrit des rendements croissants lorsque chaque adoption renforce l’attractivité du même choix. Sans effet mesurable des choix passés, ce renforcement n’est pas adapté.

Dans une simulation, on met à jour la composition après chaque tirage et on compare plusieurs trajectoires issues des mêmes nombres a et b. Leur dispersion montre que le modèle produit une limite aléatoire, et non une proportion finale imposée.

Tirages indépendants avec remise. Remettre seulement la boule tirée laisse la composition inchangée et conserve la même probabilité à chaque étape. Dans l’urne de Pólya, la boule supplémentaire modifie cette probabilité.

Tirages sans remise. Une couleur tirée devient moins présente, et l’effectif total diminue. Ici, l’effectif augmente d’une unité et la couleur tirée devient plus présente.

Loi bêta et loi binomiale. La loi bêta porte ici sur une proportion limite continue. Une loi binomiale compterait des succès sur un nombre fixé d’essais indépendants, condition absente du mécanisme renforcé.

Couleur absente au départ. Si a = 0 ou b = 0, la couleur absente ne peut jamais apparaître. Le processus est alors déterministe ; il faut traiter ce cas séparément plutôt que lui appliquer une loi bêta de paramètres strictement positifs.

Règle de renforcement modifiée. La conclusion annoncée repose sur l’ajout d’exactement une boule de la couleur tirée. Ajouter un autre nombre de boules, retirer des boules ou renforcer les couleurs différemment définit un autre modèle ; la loi limite doit être réétablie.

Majorité précoce. Une couleur très présente après quelques tirages n’est pas certaine de sortir ensuite. Le symptôme du piège est une probabilité confondue avec une certitude ; il faut conserver la probabilité donnée par la composition courante.

Modèle et causalité. Une trajectoire ressemblant à une contagion ou à des rendements croissants ne prouve pas que le renforcement en est la cause. Il faut confronter cette hypothèse au mécanisme réel et aux données observées.

La loi bêta précise la famille de distributions à laquelle appartient la proportion limite.

La martingale fournit le cadre qui explique pourquoi la suite des proportions peut converger sans se figer à une valeur déterministe.

La fiche Conditionnelle (probabilité) aide à lire la composition courante comme la probabilité du prochain tirage.