Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
urne d'Ehrenfest
L'urne d'Ehrenfest est un modèle stochastique à temps discret dans lequel deux urnes contiennent un nombre fixe et positif de boules numérotées, initialement toutes réunies dans l'une d'elles. À chaque étape, un numéro est choisi uniformément au hasard et la boule correspondante passe dans l'autre urne. Le modèle rend intuitive la tendance statistique vers un partage équilibré, sans faire disparaître les fluctuations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Suivre exactement quatre transferts de boules numérotées.
- Calculer les deux probabilités de transition depuis un effectif donné.
- Relier la distribution d'équilibre à la loi binomiale.
- Distinguer tendance vers l'équilibre, périodicité et retour à l'état initial.
En clair
Imaginez quatre boules numérotées, toutes dans une urne A, et une urne B vide. À chaque tour, un numéro est choisi au hasard. La boule correspondante change aussitôt d'urne, quel que soit son emplacement actuel.
Près des extrêmes, la plupart des boules ne peuvent aller que vers l'urne la moins remplie. Autour de deux boules dans chaque urne, les deux sens deviennent aussi plausibles. L'équilibre est donc une zone de fluctuations, pas un partage qui reste figé.
Définition
L'urne d'Ehrenfest est un modèle stochastique à temps discret. Deux urnes A et B contiennent au total un nombre entier positif de boules, noté n, numérotées de 1 à n. Au départ, elles sont toutes dans A. À chaque étape, chaque numéro a la même probabilité d'être choisi, puis la boule correspondante passe dans l'autre urne.
On note Kt le nombre de boules présentes dans A après t étapes. Entre les deux extrêmes, si Kt vaut k, le prochain état vaut k − 1 ou k + 1. Le premier mouvement choisit l'une des k boules de A ; le second choisit l'une des n − k boules de B. Leurs probabilités sont :
Aux extrêmes k = 0 et k = n, l'une de ces probabilités est nulle et l'unique mouvement possible ramène vers l'intérieur. Cette règle fait de Kt une chaîne de Markov.
La distribution stationnaire du nombre de boules dans A est la loi binomiale de paramètres n et 1/2 :
Elle est maximale près de n/2. Pour quatre boules, les probabilités d'équilibre associées à 0, 1, 2, 3 et 4 boules dans A valent respectivement 1/16, 4/16, 6/16, 4/16 et 1/16. Le profil rend visible la concentration autour de deux boules sans suggérer un état immobile.
Un exemple, pas à pas
Prenons quatre boules numérotées 1, 2, 3 et 4. Elles partent toutes dans A, donc A en contient quatre et B aucune. Supposons que les quatre numéros tirés successivement soient 1, 2, 1 et 3.
1. Le numéro 1 envoie la boule 1 de A vers B : les effectifs deviennent 3 et 1.
2. Le numéro 2 envoie la boule 2 de A vers B : les effectifs deviennent 2 et 2.
3. Le numéro 1 renvoie la boule 1 de B vers A : les effectifs deviennent 3 et 1.
4. Le numéro 3 envoie la boule 3 de A vers B : les effectifs redeviennent 2 et 2.
2. Le numéro 2 envoie la boule 2 de A vers B : les effectifs deviennent 2 et 2.
3. Le numéro 1 renvoie la boule 1 de B vers A : les effectifs deviennent 3 et 1.
4. Le numéro 3 envoie la boule 3 de A vers B : les effectifs redeviennent 2 et 2.
Après quatre étapes, A contient les boules 1 et 4, tandis que B contient les boules 2 et 3. Le contrôle est direct : chaque tirage a déplacé exactement la boule annoncée, les deux effectifs totalisent toujours quatre, et chaque étape modifie l'effectif de A d'une unité. Cette trajectoire atteint deux fois le partage central, mais elle aurait pu suivre une autre suite de tirages.
En pratique
Avec quelques boules ou jetons, l'expérience matérialise un échange aléatoire : on tire un numéro, on déplace la boule et on note l'effectif de A. Pour vérifier une courte trajectoire précise, ce suivi manuel est préférable à une simulation massive.
Pour observer la fréquence des effectifs sur beaucoup d'étapes, une simulation répète la même règle et construit un histogramme. Si l'on veut des probabilités exactes plutôt que des fréquences expérimentales, on utilise la chaîne de Markov ou la loi binomiale stationnaire.
Dans l'interprétation thermodynamique proposée par Paul et Tatiana Ehrenfest en 1907, les deux urnes représentent deux systèmes qui échangent de l'énergie. Le modèle sert alors à montrer une tendance statistique vers l'équilibre tout en laissant possibles des fluctuations et des retours.
À ne pas confondre
L'urne d'Ehrenfest n'est pas synonyme de chaîne de Markov. Une chaîne de Markov est un cadre général où le prochain état dépend de l'état présent. Le modèle d'Ehrenfest est le cas précis où une boule choisie uniformément change d'urne à chaque étape.
Il ne faut pas non plus confondre la dynamique et sa distribution stationnaire. La loi binomiale donne ici les poids d'équilibre des effectifs ; elle ne décrit pas l'ordre des transferts. Deux trajectoires peuvent avoir le même effectif final tout en ayant déplacé des boules différentes.
Limites et pièges
Le modèle exige au moins une boule. Avec n = 0, aucun numéro ne peut être tiré et la règle n'est pas définie. Avec n = 1, le cas charnière est déterministe : l'unique boule alterne entre A et B, sans fluctuation autour d'un partage réalisable en nombres entiers.
Un transfert a lieu à chaque étape. La parité du nombre de boules dans A change donc à chaque tour, si bien que la chaîne a une période égale à 2. Depuis l'état initial, la distribution à un instant donné n'approche pas la loi stationnaire au sens ordinaire ; les moyennes temporelles, ou une version autorisant parfois l'absence de transfert, rendent l'équilibre statistique observable sans cette alternance.
Le retour de toutes les boules dans A est possible, mais il devient vite rare quand n augmente. Son temps moyen de retour, à partir de l'état entièrement rempli, vaut :
Pour quatre boules, cette moyenne vaut donc 16 étapes. Une moyenne de 16 ne signifie pas qu'un retour survient exactement au seizième tour ; le retour ne peut d'ailleurs avoir lieu qu'après un nombre pair d'étapes.
Pour aller plus loin
Chaîne de Markov — Situer le modèle d'Ehrenfest dans le cadre général des transitions qui dépendent uniquement de l'état présent.
Loi binomiale — Retrouver la distribution stationnaire des effectifs et la raison de sa concentration autour de la moitié des boules.
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