AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice de transition
Soit G un graphe probabiliste (ou chaîne de Markov) d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n. La matrice de transition M de G est la matrice carrée d'ordre n dont l'élément m_{ij} est la probabilité de passer du sommet i au sommet j en une étape, c'est-à-dire la probabilité portée par l'arc de i vers j s'il existe, et 0 sinon. Chaque ligne de M est un vecteur de probabilités : la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1. Une telle matrice est dite stochastique à gauche (ou droite selon la convention choisie). Théorème fondamental : soit P_0 le vecteur ligne décrivant la distribution de probabilité initiale sur les n états et P_k la distribution à l'étape k. Pour tout entier naturel k, on a P_k = P_0 · M^k. Ce résultat permet de calculer la distribution à tout instant par élévation de la matrice de transition à la puissance k.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire une probabilité de transition à l’intersection d’une ligne et d’une colonne.
- Vérifier qu’une ligne forme une distribution de probabilité.
- Calculer P₁ et P₂ à partir d’une distribution initiale.
- Éviter de confondre puissance matricielle et puissance coefficient par coefficient.
En clair
Un système peut occuper deux états, A ou B. S’il se trouve en A, il a 70 % de chances de rester en A au prochain pas et 30 % de passer en B. Depuis B, les deux chances peuvent être différentes.
La matrice de transition range toutes ces probabilités dans une grille. Une ligne décrit l’état de départ, une colonne l’état d’arrivée. En multipliant la répartition actuelle par cette grille, on obtient la répartition probable au pas suivant.
Définition
Une matrice de transition décrit les passages en une étape entre les n états d’un graphe probabiliste, ou d’une chaîne de Markov. C’est une matrice carrée M d’ordre n. Pour deux états numérotés i et j, le coefficient mij est la probabilité de passer de i à j. Il vaut 0 lorsque l’arc correspondant n’existe pas.
Chaque ligne rassemble donc une distribution de probabilité : ses coefficients sont des probabilités et leur somme vaut 1. On parle de matrice stochastique à gauche ou à droite selon la convention retenue. Ici, les distributions sont des vecteurs lignes placés à gauche de M ; la ligne i décrit les destinations possibles depuis l’état i.
Le vecteur ligne P0 donne la distribution initiale et le vecteur ligne Pk celle obtenue après k étapes. Pour tout entier naturel k, leur relation est . La puissance Mk rassemble ainsi les probabilités de transition en k étapes, tandis que le produit par P0 tient compte du point de départ probabiliste.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent l’objet. Les n lignes représentent les états de départ et les n colonnes les états d’arrivée. Le coefficient situé à leur croisement porte la probabilité du passage correspondant. Enfin, l’ordre commun des lignes et des colonnes associe chaque position au même état numéroté.
Une ligne dépend de tous les arcs sortant de son état : leurs probabilités remplissent la ligne et totalisent 1. La multiplication dépend aussi de l’ordre choisi, car chaque composante du vecteur de distribution doit rencontrer la ligne du même état.
Ces données suffisent à calculer une distribution future par des produits matriciels et des puissances. La position graphique des sommets, la forme des arcs ou leurs couleurs ne définissent pas la matrice ; seuls comptent l’ordre des états et les probabilités portées par les transitions.
Un exemple, pas à pas
Considérons deux états ordonnés A puis B. Depuis A, les probabilités d’aller vers A et B valent 0,7 et 0,3. Depuis B, elles valent 0,2 et 0,8. Au départ, le système est certainement en A : le vecteur initial est P0 = (1 ; 0).
1. Les quatre probabilités se rangent dans la matrice .
2. Les deux sommes de ligne valent 0,7 + 0,3 = 1 et 0,2 + 0,8 = 1.
3. Après une étape, .
2. Les deux sommes de ligne valent 0,7 + 0,3 = 1 et 0,2 + 0,8 = 1.
3. Après une étape, .
4. Après deux étapes, la probabilité d’être en A vaut 0,7 × 0,7 + 0,3 × 0,2 = 0,55. Celle d’être en B vaut 0,7 × 0,3 + 0,3 × 0,8 = 0,45. Ainsi, . Ces distributions montrent le transfert progressif de probabilité de A vers B.
5. Le contrôle consiste à additionner les deux composantes finales : 0,55 + 0,45 = 1. Le résultat est bien une distribution de probabilité.
En pratique
Pour passer d’un graphe probabiliste à une matrice, fixez d’abord l’ordre des états. Lisez ensuite, ligne par ligne, les probabilités des arcs sortants. Cette représentation est préférable au graphe lorsque plusieurs étapes doivent être calculées par multiplication.
Pour prévoir la prochaine répartition, multipliez le vecteur ligne actuel par M. Pour atteindre directement l’étape k, employez P0Mk plutôt que de recommencer tous les produits précédents.
Pour contrôler une matrice saisie, additionnez chaque ligne. Une somme différente de 1 signale qu’une probabilité manque, a été mal recopiée ou ne respecte pas la convention annoncée. Le graphe reste alors l’alternative utile pour retrouver les transitions sortantes.
À ne pas confondre
Matrice de transition et distribution de probabilité. La première est carrée et encode les règles de passage ; la seconde est ici un vecteur ligne qui décrit la répartition à un instant. Dans l’exemple, M contient quatre coefficients, tandis que P1 = (0,7 ; 0,3) n’en contient que deux.
Matrice de transition et graphe probabiliste. Le graphe montre les états et les arcs ; la matrice range les mêmes probabilités selon un ordre fixé. Si les sommets A et B sont intervertis, le dessin décrit encore les mêmes passages, mais les lignes et colonnes de la matrice doivent être permutées ensemble.
Limites et pièges
Une convention inversée. Avec des vecteurs lignes, la distribution multiplie M par la gauche et les lignes totalisent 1. Une présentation avec des vecteurs colonnes transpose l’organisation. Un produit aux dimensions incompatibles peut révéler une erreur ; même si les dimensions sont compatibles, il faut aussi vérifier l’interprétation des lignes et des colonnes ainsi que l’orientation des transitions.
Une puissance lue coefficient par coefficient. M2 est le produit M × M, pas la matrice obtenue en élevant chaque probabilité au carré. Dans l’exemple, la probabilité d’arriver en A après deux étapes additionne deux chemins et vaut 0,55, non 0,7².
L’étape zéro oubliée. À k = 0, aucune transition n’a encore eu lieu : M0 est la matrice identité et P0M0 = P0. Il faut conserver la distribution initiale au lieu d’appliquer déjà les probabilités de M.
Un zéro surinterprété. Un coefficient mij nul interdit seulement le passage direct de i à j en une étape. Un chemin par un état intermédiaire peut rendre ce passage possible en plusieurs étapes ; il faut alors examiner le coefficient correspondant de Mk.
Pour aller plus loin
chaîne de Markov — Pour replacer les transitions dans le processus aléatoire qu’elles décrivent.
graphe probabiliste — Pour lire les mêmes passages sous forme de sommets et d’arcs pondérés.
matrice stochastique — Pour approfondir la condition de somme imposée aux lignes ou aux colonnes.
Markov : les chaînes de l'espoir — Pour prolonger la notion par un article consacré aux chaînes de Markov.
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